Question

ДАМ 50 БАЛОВ!!!!!!!!!!!!!!!!! ПОМОГИТЕ, САМ НЕ СПРАВЛЯЮСЬ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Діагоналі чотирикутника АВСD – перетинаються в точці О. Відомо, що АО∙ОВ =СО∙ОD. Доведіть, що у чотирикутника АВСD є дві паралельні сторони. Чи можна цей чотирикутник вважати: а) трапецією; б) паралелограмом?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Изменим условие на такой вид:

AO/OC = OD/OB, <AOD = <BOC - вертикальные

Тр-ки AOD и BOC - подобные (по углу и двум пропорциональным сторонам), следовательно, они подобны будут и по соответственным двум углам, т.е. <CBO = <ODA, <BCO = OAD, они в то же время будут равными накрест лежащими углами при секущих BD и AC, значит BC||AD, ч.т.д.

а) может, т.к. стороны основания параллельны. б) не может, т.к. больше не подобных треугольников и AB не паралл-но CD.

Answer 2

Для доведення, що у чотирикутника ABCD є дві паралельні сторони та для відповіді на питання, чи можна вважати його трапецією або паралелограмом, розглянемо дані.

Ми маємо даний чотирикутник ABCD, де діагоналі AO і BO перетинаються в точці О, і відомо, що АО * ОВ = СО * OD.

Перетин діагоналей у точці О поділяє кожну діагональ на дві частини, так що AO поділиться на AO₁ і AO₂, а BO поділиться на BO₁ і BO₂. Таким чином, ми маємо:

АО * ОВ = AO₁ * AO₂ = BO₁ * BO₂

Якщо ми розглянемо діагоналі AO і CO, ми також отримаємо аналогічне рівняння:

АО * ОВ = CO₁ * CO₂

З виразів, що ми маємо, ми можемо висунути наступний висновок:

AO₁ * AO₂ = CO₁ * CO₂

З огляду на те, що AO₁ * AO₂ дорівнює площі трикутника ABO, а CO₁ * CO₂ дорівнює площі трикутника CDO, ми бачимо, що площі трикутників ABO і CDO рівні одна одній.

Тепер давайте розглянемо площі трикутників ACO і BDO. Вони також мають рівні площі, оскільки вони мають одну спільну базу (діагональ CO) і рівні висоти (перпендикуляри проведені до CO).

Тепер, якщо розглянути відомість, що площі трикутників ABO і CDO рівні, і площі трикутників ACO і BDO рівні, ми бачимо, що всі чотири трикутники ABO, CDO, ACO і BDO мають однакову площу.

Це можливо лише тоді, коли чотирикутник ABCD є паралелограмом. У паралелограмі протилежні сторони рівні та паралельні, тобто AB || CD і AD || BC.

Таким чином, ми довели, що у чотирикутника ABCD є дві паралельні сторони, та чотирикутник є паралелограмом.

Також можна відповісти на питання:

а) Чотирикутник ABCD є паралелограмом, але не є трапецією, оскільки в трапеції є лише одна пара паралельних сторін.

б) Чотирикутник ABCD є паралелограмом.

Таким чином, доведено, що дані властивості виконуються для чотирикутника ABCD.