Question

У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 8 см, а проекція катетів на гіпотенузу відносяться, як 1:4. Знайдіть гіпотенузу

Answer 1

Объяснение:

ΔАВС -прямоугольный, СК⊥АВ,  СК=8см , АК:КВ=1:4.

Пусть одна часть х, тогда АК=х, КВ=4х.

Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу  

СК²=КВ×АК

8²=4х×х

4х²=64

х²=16

х=4

АВ= х+4х=5х,

АВ=5×4=20 (см)

Answer 2

Позначимо сторони прямокутного трикутника так:

• Гіпотенуза: $c$
• Катети: $a$ і $b$

За умовою відомо, що висота проведена до гіпотенузи ($c$) дорівнює 8 см. Також відомо, що проекція катетів на гіпотенузу ($h_a$ і $h_b$) відносяться, як 1:4:

$$\frac{h_a}{h_b} = \frac{1}{4}$$

Ми можемо виразити проекції катетів на гіпотенузу відносно висоти як:

$$h_a = \frac{a \cdot c}{\sqrt{a^2 + c^2}}$$

$$h_b = \frac{b \cdot c}{\sqrt{b^2 + c^2}}$$

Підставляючи умову відношення проекцій, отримуємо:

$$\frac{h_a}{h_b} = \frac{\frac{a \cdot c}{\sqrt{a^2 + c^2}}}{\frac{b \cdot c}{\sqrt{b^2 + c^2}}} = \frac{a \cdot \sqrt{b^2 + c^2}}{b \cdot \sqrt{a^2 + c^2}} = \frac{1}{4}$$

Можемо скоротити $c$ з обох частин дробу:

$$\frac{a \cdot \sqrt{b^2 + c^2}}{b \cdot \sqrt{a^2 + c^2}} = \frac{a \cdot \sqrt{b^2 + c^2}}{c \cdot \sqrt{a^2 + c^2}} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot \sqrt{b^2 + c^2}}{a \cdot \sqrt{c^2 + a^2}} \cdot \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{c^2 + a^2}} \cdot \frac{c}{b}$$

Тепер ми можемо піднести обидві сторони рівняння до квадрату:

$$\left(\frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{c^2 + a^2}} \cdot \frac{c}{b}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$$