Question

Составьте уравнение образа окружности х2+ у2− 10х + 12у = 0 при повороте на 270° против часовой стрелки относительно начала координат.

Answer 1

Ответ: x²+y²+12x+10y=0

Объяснение: нужно понять в какую точку перейдет центр окружности при таком повороте)

выделим полные квадраты...

x²-10х +25-25 +y²+12y +36-36=0

(x-5)² + (y+6)² = 25+36

координаты центра данной окружности (5; -6);

при повороте радиус окружности не изменится (r²=61), а центр переместится в точку с координатами (-6; -5) осталось составить уравнение новой окружности: (x+6)² + (y+5)² = 61

x²+12х+36 +y²+10y+25-61=0

x²+12х+y²+10y=0

Answer 2

Чтобы найти уравнение образа окружности после поворота на определенный угол, мы можем использовать матричную формулу для поворота точки в координатной плоскости. Формула для поворота точки (x, y) на угол θ против часовой стрелки выглядит следующим образом:

scssCopy code
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)

В данном случае, у нас есть исходное уравнение окружности:

Copy code
x^2 + y^2 - 10x + 12y = 0

Мы будем использовать матричную форму поворота на 270° против часовой стрелки:

scssCopy code
| cos(270°)  -sin(270°) |
| sin(270°)   cos(270°) |

Подставляя значения, получим:

vbnetCopy code
x' = x * 0 - y * 1 = -y
y' = x * 1 + y * 0 = x

Таким образом, после поворота на 270° против часовой стрелки, исходное уравнение окружности будет иметь вид:

scssCopy code
(-y)^2 + x^2 - 10*(-y) + 12*x = 0
y^2 + x^2 + 10y + 12x = 0

Итак, уравнение образа окружности после поворота на 270° против часовой стрелки относительно начала координат будет:

Copy code
x^2 + y^2 + 10y + 12x = 0