Question

Ребят, помогите решить две задачи В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса AM, причём CM=7 см. Найти:расстояние от т. M до AB 2-я задача: Доказать, что любая точка биссектрисы неразвернутого угла равно удалена от его сторон.

Answer 1

Ответ:

1-ая задача:

вкратце)

расстояние- это перпендикуляр

поэтому треугольник АВН прямоугольный.(Н- точка расстояния от М до АВ)

угол САМ равен МАН(т.к. АМ бисс)

АМ- общая сторона

из этого АСМ=АМН(треугольники)

из чего СМ=МН=7см

ответ:7см

2-ая задача:

Любая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон этого угла.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BFK и BFP.

∠BKF=∠BPF=90º, ∠KBF=∠PBF (так как по условию BD — биссектриса ∠ABC).

BF — общая сторона.

Значит, ∆BFK=∆BFP (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: FK=FP.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

Задача 1: В данной задаче нам нужно найти расстояние от точки M (точка пересечения биссектрисы и прямой AB) до стороны AB.

Поскольку биссектриса является линией, которая делит угол пополам и пересекает противоположную сторону, можно воспользоваться свойством биссектрисы, а именно, что отрезок, проведенный от вершины угла до точки пересечения биссектрисы с противоположной стороной, делит этот угол на два равных угла.

Так как мы знаем, что CM = 7 см, а AM является биссектрисой, то MC = MA = 7 см.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник AMC. Поскольку он прямоугольный, то AM^2 + MC^2 = AC^2. Подставляем значения и находим AC:

AM^2 + MC^2 = AC^2 7^2 + 7^2 = AC^2 98 + 49 = AC^2 147 = AC^2 AC = √147

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника. Мы также знаем, что биссектриса делит противоположную сторону на два сегмента, пропорциональных друг другу и делящих эту сторону пропорционально остальным сторонам. Так как мы знаем отношение MC к MA (1:1), мы можем найти длину сегмента AM.

AM / AC = MC / AC AM / √147 = 7 / √147 AM = 7

Теперь у нас есть длина отрезка AM, который является расстоянием от точки M до стороны AB.

Ответ: Расстояние от точки M до стороны AB равно 7 см.

Задача 2: Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться свойствами биссектрисы и подобия треугольников.

Пусть у нас есть треугольник ABC, угол BAC которого неразвернут. Пусть точка D - это точка пересечения биссектрисы угла BAC и стороны BC.

Мы знаем, что биссектриса делит угол BAC пополам. Это означает, что угол BAD равен углу CAD.

Также из свойств биссектрисы следует, что отношение длин отрезков BD и CD равно отношению длин сторон AB и AC, то есть BD / CD = AB / AC.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них общий угол A, и углы BDA и CDA равны, так как угол BAD равен углу CAD. Таким образом, эти треугольники подобны по двум углам, что означает, что они подобны в целом.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон в соответствующих треугольниках одинаково:

AB / AC = BD / CD

Мы знаем, что BD / CD = AB / AC из свойств биссектрисы. Теперь мы также доказали, что в подобных треугольниках это отношение также справедливо. Это доказывает, что любая точка биссектрисы неразвернутого угла действительно равноудалена от его сторон.

Доказательство завершено.