Question

Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 30 градусів. Знайдіть діагональ прямокутника, якщо його площа становить 64 см^2

Answer 1

Площадь любого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Диагонали прямоугольника равны между собой. Обозначим длину диагонали за х. Пусть S - площадь прямоугольника.

Угол между диагоналями, по условию, равен 30°.

sin 30° = 0,5.

Составим уравнение -

S = 0,5*0,5*х*х

S = 0,25*х²

Подставим в формулу известные нам значения -

64 см² = 0,25*х²

х² = 64 см²/0,25

x² = 256 cм²

x₁ = -√256 cм

х₁ = -16 см - не удовлетворяет условию

x₂ = √256 cм

x₂ = 16 cм - подходит.

Диагонали прямоугольника = 16 см.

Ответ: 16 см и 16 см.

Answer 2

Рішення:

Застосуємо формулу площі прямокудника через діагоналі і кут між ними, та виразимо із неї значення діагоналі.

$S=\frac{1}{2}d^2\cdot sin\alpha \:\: \Leftrightarrow \:\: d^2 = \frac{2S}{sin\alpha } \:\: \Leftrightarrow \:\: d=\sqrt{\frac{2S}{sin\alpha }} \\\\d = \sqrt{2\cdot 64\cdot 2} = \sqrt{4} \sqrt{64} = 2\cdot 8 = 16 \:\: (cm)$

Відповідь: діагональ прямокутника дорівнює 16 см.

Answer 3

Позначимо довжини діагоналей прямокутника як $d_1$ і $d_2$, а довжини його сторін як $a$ і $b$. Тоді ми маємо наступні співвідношення:

1. Зв'язок між діагоналями і сторонами прямокутника: $d_1^2 = a^2 + b^2 \quad (1)$ $d_2^2 = a^2 + b^2 \quad (2)$

2. Площа прямокутника: $S = a \cdot b = 64 \, \text{см}^2 \quad (3)$

3. Зв'язок між площею, діагоналями і кутом між ними: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \theta \quad (4)$

   Де $\theta = 30^\circ$ (30 градусів), а $\sin \theta = \frac{1}{2}$.

Підставимо вирази (1), (2) і (4) у вираз (3):

$\frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \frac{1}{2} = 64$

Помножимо обидві сторони на 4:

$d_1 \cdot d_2 = 256 \quad (5)$

Тепер ми маємо систему рівнянь, що включає (1), (2) і (5). Оскільки $d_1^2 = d_2^2$ (згідно з (1) і (2)), то ми можемо підставити $d_1^2$ з (5):

$d_1^2 \cdot d_1^2 = 256$

$d_1^4 = 256$

Відобразимо $d_1$ у вигляді квадратного кореня:

$d_1^2 = \sqrt{256}$

$d_1 = 16$

Таким чином, довжина однієї з діагоналей прямокутника дорівнює 16 см. Так як діагоналі паралельні сторонам прямокутника, друга діагональ також має довжину 16 см.