Question

Найдите уравнение плоскости, проходящую через точку M (3,-2,1) и параллельную векторам L(1,-2,4) и M(-3,0,4)

Answer 1

Даны точка M (3,-2,1) и векторы l(1,-2,4) и m(-3,0,4)

Для начала находим координаты вектора, перпендикулярного искомой плоскости. Таковым является векторное произведение заданных векторов:

 i         j        k |         i          j

1       -2       4 |          1        -2

-3       0        4 |        -3        0 =  -8i - 12j + 0i - 4j -0i - 6k = -8i - 16j - 6k.

Координаты (-8; -16; -6). Вспомним, что в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 вектор (A;B;C) является вектором, перпендикулярной заданной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид -8x - 16y - 6z + D = 0 .

Остается найти свободный коэффициент D - его найдем из условия, что плоскость проходит через точку M(3; -2; 1). Подставляем значения в уравнение:

-8*3-16*(-2)-6*1+D = 0

D = 24-32+6 = -2

Искомое уравнение -8x-16y-6z-2=0.

Можно сократить на -2:  4x+8y+3z+1=0.

Answer 2

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точку M(3, -2, 1) и параллельной векторам L(1, -2, 4) и M(-3, 0, 4), мы можем использовать нормальный вектор плоскости. Нормальный вектор будет перпендикулярен векторам, параллельным плоскости.

Чтобы найти нормальный вектор, мы можем использовать векторное произведение векторов L и M.

L × M = (1, -2, 4) × (-3, 0, 4)

Для вычисления векторного произведения, мы можем использовать следующую формулу:

L × M = (LyMz - LzMx, LzMx - LxMz, LxMy - LyMx)

L × M = (1 * 4 - 4 * 0, 4 * -3 - 1 * 4, 1 * 0 - (-2) * -3)

L × M = (4, -16, -6)

Теперь, у нас есть нормальный вектор плоскости, и мы можем использовать его в уравнении плоскости вместе с координатами точки M.

Уравнение плоскости имеет следующий вид:

Ax + By + Cz = D

где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, а (x, y, z) - координаты точки M.

Подставим значения известных величин:

4x - 16y - 6z = D

Теперь мы можем найти значение D, подставив координаты точки M:

4 * 3 - 16 * (-2) - 6 * 1 = D

12 + 32 - 6 = D

D = 38

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M(3, -2, 1) и параллельной векторам L(1, -2, 4) и M(-3, 0, 4), будет:

4x - 16y - 6z = 38