Question

1. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300, а радиус основания равен 3 см. Найдите объем конуса и площадь боковой поверхности

Answer 1

Ответ: в решении

Объяснение:

Answer 2

Для решения задачи используем следующие формулы для объема конуса и площади его боковой поверхности:

1. Объем конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$,

где $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота конуса.

2. Площадь боковой поверхности конуса: $S_{\text{бок}} = \pi r l$,

где $l$ - образующая конуса.

У нас даны следующие значения: $r = 3$ см (радиус основания), $\theta = 30^\circ$ (угол между образующей и плоскостью основания).

Для начала, нам нужно найти высоту $h$ и образующую $l$ конуса. Высоту можно найти, используя тригонометрические соотношения:

$\sin \theta = \frac{h}{l}$.

Подставляя значение угла $\theta = 30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан) в эту формулу, получаем:

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{h}{l}$, $h = l \cdot \frac{1}{2}$.

Так как радиус основания $r = 3$ см, то образующая $l$ может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$, $l^2 = 3^2 + \left( \frac{l}{2} \right)^2$.

Решая это уравнение относительно $l$, получаем:

$l^2 = 9 + \frac{l^2}{4}$, $l^2 - \frac{l^2}{4} = 9$, $\frac{3}{4} l^2 = 9$, $l^2 = \frac{4}{3} \cdot 9$, $l = 2 \sqrt{3}$ см.

Теперь, когда мы знаем образующую $l$, можем вычислить высоту $h$:

$h = l \cdot \frac{1}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить объем конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \pi$ кубических сантиметров.

И площадь боковой поверхности конуса:

$S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \pi$ квадратных сантиметров.

Итак, объем конуса равен $3 \sqrt{3} \pi$ кубических сантиметров, а площадь боковой поверхности равна $6 \sqrt{3} \pi$ квадратных сантиметров.