Question

Прямоугольный треугольник с катетом 4 см вписан в окружность. Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности.​

Answer 1

Прямоугольный треугольник с катетам 4 см вписан в окружность. найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности.

Объяснение:

1 СПОСОБ . ΔАВС-прямоугольный, ∠С=90° , значит опирается на дугу в 180°⇒АВ диаметр. Найдем гипотенузу АВ по т. Пифагора

АВ=√( 4²+4²)=4√2 (см). Поэтому R=1/2*АВ=2√2 (см).

Шестиугольник описан около данной окружности , значит для него 2√2 является радиусом вписанной окружности  r=2√2 cм.

По формуле r₆= ( a₆√3) /2   ⇒   2√2=( a₆√3) /2  или  a₆=(4√2) /√3 (см).

S=1/2*Р*r ,

S=1/2*(6*(4√2) /√3 )*√2=48/√3=16√3 (cм²).

2 СПОСОБ

S( прав.шестиугольника)=6*S(прав. треуг)=6*(а²√3/4)

Выразим S(прав.треуг) через высоту . Тк. высота в правильном треугольнике является медианой , то  a²-(a/2)²= h²   => 3a²/4=h²  ,

a²=4h² /3

S(прав. шестиугольника)=6*(h²/√3)  =>  

S(прав. шестиугольника)=6*(2√2)²/√3=6*8/√3=16√3 (cм²).

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности. Это свойство гласит, что сторона правильного шестиугольника равна диаметру окружности.

В данном случае, сторона правильного шестиугольника будет равна диаметру окружности, а диаметр окружности равен удвоенному радиусу. Чтобы найти радиус, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника.

По условию, один из катетов равен 4 см. Пусть другой катет равен x см, а гипотенуза (равная диаметру окружности) равна r см. Тогда, применяя теорему Пифагора, получим:

x^2 + 4^2 = r^2

Решим это уравнение относительно x^2:

x^2 = r^2 - 4^2 x^2 = r^2 - 16

Так как треугольник вписан в окружность, катет x также является радиусом. Поэтому:

x = sqrt(r^2 - 16)

Теперь мы можем найти сторону правильного шестиугольника (диаметр окружности) как 2 * x:

Сторона шестиугольника = 2 * sqrt(r^2 - 16)

Теперь мы можем найти площадь правильного шестиугольника, используя формулу:

Площадь шестиугольника = (3 * sqrt(3) * (сторона шестиугольника)^2) / 2

Подставим значение стороны и вычислим площадь:

Площадь шестиугольника = (3 * sqrt(3) * (2 * sqrt(r^2 - 16))^2) / 2 = (3 * sqrt(3) * 4 * (r^2 - 16)) / 2 = 6 * sqrt(3) * (r^2 - 16)

Таким образом, площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности, равна 6 * sqrt(3) * (r^2 - 16), где r - радиус окружности.