Question

1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 18° меньше другого. 2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M. Большее основание AD равно 20 см, MD = 10 см, CD = 8 см. Найдите меньшее основание трапеции. 3. Высота EK треугольника DEF делит его сторону DF на отрезки DK и KF. Найдите сторону DE, если EF = √6 см, KF = 2 см, ∠D = 45°. 4. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции. 5. Из точки E окружности опущен перпендикуляр EK на её диаметр DF, DE = 2√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок KF на 6 см больше отрезка DK.​

Answer 1

1.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, составляет 180°.

Дан параллелограмм АВСД, где ∠А=х°, ∠Д=х+18°.

Тогда х+х+18=180

2х+18=180

2х=16

х=81

∠А=81°, ∠С=∠А=81°

∠В=∠Д=81+18=99°.

Ответ: 81°, 99°, 81°, 99°

2.

ΔАМВ подобен ΔВМС ( по двум углам)  

BC/AD=CD/MD  

BC/20=8/10

10BC=160

BC=16

3. Ответ: 8 см

Объяснение: ЕК, как высота,  перпендикулярна DE ⇒ ∆ ЕFK прямоугольный. По т.Пифагора ЕК=√(EF²-KF²)√(36-4)=√32.

 Треугольник DEK прямоугольный. DE=EK:sin45°=√32•√2/2=8 см

Или по т.Пифагора DE=√(2•DK²), т.к. второй острый угол ∆ DEK=45°, и DK=EK.

4.∠СDB=∠DBCкак накрест лежащие при параллельных прямых и секущей,   но ∠АDВ = ∠ВDC(по условию) значит ΔВСD - равнобедренный, тогда ВС=СD=12,   Опустим высоту СК. Тогда АК=ВС=12,  КD=18-12=6. По теореме Пифагора находим СК.  СК²=СD²-KD²=144-36=108,    CK=√108=6√3,   площадь равна (12+18)/2   ·6√3=        =15·6√3=90√3

5.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1. Пусть x - больший угол параллелограмма. Тогда другой угол будет x - 18°. Сумма углов параллелограмма равна 180°.

   x + (x - 18°) = 180° 2x - 18° = 180° 2x = 198° x = 99°

   Больший угол параллелограмма равен 99°, а меньший - 81°.

2. Пусть AM = x (меньшее основание), BM = y (большее основание). Из подобия треугольников AME и CMD, получаем:

   AM / MD = ME / CD x / 10 = (x + y) / 8

   Решаем это уравнение относительно y:

   8x = 10x + 8y 8y = 2x y = x / 4

   Также из подобия треугольников MFK и MCD:

   MK / MD = FK / CD (x + y - 10) / 10 = 2 / 8

   Решаем это уравнение относительно x:

   4(x + y - 10) = 20 4(x + x / 4 - 10) = 20 4(5x / 4 - 10) = 20 5x - 40 = 20 5x = 60 x = 12

   Меньшее основание трапеции равно 12 см.

3. Из треугольника DEF:

   EF^2 = EK^2 + KF^2 6 = EK^2 + 4 EK^2 = 2

   Также, так как EK делит сторону DF пополам:

   DK = KF = 2 см

   Следовательно, DE = DK + EK = 2 + √2 см.

4. Обозначим основания прямоугольной трапеции как a и b (где a = 18 см, b = 12 см). Обозначим диагональ как d. По теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой d:

   d^2 = a^2 + b^2 d^2 = 18^2 + 12^2 d^2 = 324 + 144 d^2 = 468 d = √468 d = 6√13 см

   Площадь трапеции:

   S = (1/2) * (a + b) * d S = (1/2) * (18 + 12) * 6√13 S = 15 * 6√13 S = 90√13 см².

5. Пусть радиус окружности равен r. Так как KF = DK + 6, то DK = (KF - 6). Рассмотрим прямоугольный треугольник EKD:

   EK^2 + DK^2 = ED^2 (2√2)^2 + (KF - 6)^2 = (2√2 + 6)^2 8 + KF^2 - 12KF + 36 = 24 + 24√2 + 36 KF^2 - 12KF - 8 = 24√2

   Также, по теореме Пифагора для треугольника EKF:

   EK^2 + KF^2 = EF^2 2 + KF^2 = 6 KF^2 = 4 KF = 2√2

   Теперь подставим это значение KF в уравнение выше:

   (2√2)^2 - 12(2√2) - 8 = 24√2 8 - 24√2 - 8 = 24√2 -24√2 = 24√2 0 = 48√2

   Получили противоречие, следовательно, такая окружность не может существовать. Возможно, была допущена ошибка в условии задачи.