Question

Даю 100 баллов! Решите задачи 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите ∠ ABC, если ∠ BOC = 120°, ∠ ACD = 30°, ∠ ADB = 15°. 2. В ромбе ABCD острый угол равен 60°, а большая диагональ – 16. Найдите высоту ромба. 3. В трапеции ABCD (AD || BC) одно из оснований больше другого на 3, а средняя линия равна 12. Найдите большее основание трапеции. 4. В трапеции ABCD (AD || BC) диагональ AC делится точкой пересечения диагоналей O в отношении 2 : 1, считая от вершины A. Прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку O, пересекает рёбра AB и CD в точках M и N соответственно. Найдите AB, если AM = 4.

Answer 1

Ответ:

1. 105

2. 8

3. 13,5

4. 6

Answer 2

Спасибо за задачи! Давайте по порядку рассмотрим каждую из них.

1. Для начала найдем угол BCO (это половина угла BOC, так как диагонали параллелограмма делятся пополам):

   ∠BCO = 120° / 2 = 60°.

   Затем рассмотрим треугольник ACO. В нем:

   ∠ACO + ∠OCA + ∠COA = 180° (сумма углов треугольника).

   ∠ACO + 30° + 60° = 180°, ∠ACO = 90°.

   Таким образом, ∠ABC = 90° (так как ∠ACO + ∠ACB = 180°), то есть угол ABC прямой.

2. Пусть H - это точка пересечения высот ромба. Так как один из острых углов ромба равен 60°, то другой острый угол тоже равен 60°.

   Рассмотрим треугольник AHB. У него два угла равны 60°, значит, третий угол равен:

   ∠AHB = 180° - 60° - 60° = 60°.

   Таким образом, треугольник AHB является равносторонним, и высота HN является биссектрисой этого треугольника. Так как HN делит угол BHA пополам, то ∠BHN = 60° / 2 = 30°.

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHN. У нас есть гипотенуза BN (половина большой диагонали ромба) и угол ∠BHN = 30°. Мы хотим найти высоту HN.

   HN = BN * sin(∠BHN) = 16 / 2 * sin(30°) = 8 * 0.5 = 4.

   Таким образом, высота ромба равна 4.

3. Пусть AB - большее основание трапеции, а CD - меньшее. Также пусть M - середина AB. Тогда средняя линия трапеции AM равна (AB + CD) / 2 = 12.

   По условию, AB - CD = 3.

   Из уравнения AM = 12 можно выразить AB через CD:

   AB = 2 * AM - CD = 2 * 12 - CD = 24 - CD.

   Подставляя разность оснований, получаем:

   24 - CD = 3, CD = 24 - 3 = 21.

   Таким образом, меньшее основание трапеции CD равно 21.

4. Пусть x - длина отрезка AC, a - длина отрезка AD, и b - длина отрезка BC.

   По условию, x/a = 2/1.

   Из пропорции можно выразить x через a: x = 2a.

   Также из подобия треугольников можно выразить a через b:

   a/b = AM/BN (по подобию треугольников), 2/b = 4/(b - 12) (подставляем AM = 4 и BN = b - 12).

   Решая это уравнение относительно b, получаем:

   2(b - 12) = 4b, 2b - 24 = 4b, 24 = 2b, b = 12.

   Теперь мы знаем, что b = 12. Из x/a = 2/1 следует, что x = 2a. Так как a + b = 12 + 12 = 24, то a = 24 - b = 12.

   Таким образом, длина отрезка AC (или AB) равна x = 2a = 2 * 12 = 24.

Итак, ответы:

1. ∠ABC = 90°.
2. Высота ромба = 4.
3. Меньшее основание трапеции = 21.
4. Длина отрезка AB = 24.