Question

В правильный треугольник вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Разность периметра треугольника и периметра шестиугольника равна 12*(√3 - 1) см. Найдите площадь круга, ограниченного данной окружностью.

Answer 1

сторона треугольника равна 2r*tg(180°/3)=2r*tg(60°)=2r√3

сторона шестиугольника равна R- радиусу окружности, описанной около шестиугольника. Но так как радиус вписанного треугольника совпадает с радиусом описанного шестиугольника, можем его обозначить одной буквой, например, r, тогда разность периметров

3*2r√3-6*r=√3-1⇒6*r(√3-1)=12*(√3-1); r=12/6=2, тогда площадь круга равна πr²=4π /см²/

Answer 2

Пусть "r" обозначает радиус вписанной окружности треугольника (и, следовательно, также радиус вписанной окружности шестиугольника). Периметр равностороннего треугольника равен 3 * a, где "a" - длина его стороны, и периметр шестиугольника равен 6 * b, где "b" - длина его стороны. Таким образом, разность периметров:

3 * a - 6 * b = 12 * (√3 - 1).

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, поэтому "a" также является радиусом вписанной окружности треугольника. Аналогично, в правильном шестиугольнике все стороны равны, так что "b" также равно радиусу вписанной окружности шестиугольника.

Теперь мы можем переписать уравнение:

3 * r - 6 * r = 12 * (√3 - 1), -3 * r = 12 * (√3 - 1), r = -4 * (√3 - 1).

Отрицательное значение не имеет смысла, поэтому можно взять положительное значение:

r = 4 * (1 - √3).

Теперь мы можем найти площадь круга с радиусом "r" по формуле S = π * r^2:

S = π * (4 * (1 - √3))^2, S = π * 16 * (1 - 2√3 + 3), S = 16π * (4 - 2√3 + 3), S = 16π * (7 - 2√3).

Таким образом, площадь круга, ограниченного данной окружностью, равна 16π * (7 - 2√3) квадратных сантиметров.