Question

З вершини прямого кута B прямокутного трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр BK довжиною 8 см. Знайдіть відстань від точки K до прямої AC, якщо AC = 12 см, ∠BAC=45°

Answer 1

Ответ: КМ=10см

Объяснение: обозначим расстояние отрезок от точки К до прямой АС- КМ. Проэкция КМ на плоскость АВС- это ВМ. ∆АВС- равнобедренный, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому угол В=90-45=45°. Углы треугольника при основании равны, поэтому АВ=ВС. Проэкция ВМ тогда является медианой, и поскольку медиана проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, то ВМ=½× АС=12/2=6см. Проэкция ВМ, перпендикуляр ВК и КМ образуют прямоугольный треугольник с катета и ВК и ВМ, а КМ - гипотенуза. Найдём её по теореме Пифагора:

КМ²=ВК²+ВМ²=8²+6²=64+36=100;

КМ=√100=10см

Answer 2

Давайте спростимо ситуацію, зобразивши задачу та надаючи позначення:

1. Нехай A, B і C - вершини прямокутного трикутника ABC, причому кут B прямий кут.
2. Нехай AC - гіпотенуза трикутника ABC довжиною 12 см.
3. Нехай BK - перпендикуляр, опущений з вершини B на гіпотенузу AC, довжиною 8 см.
4. Ми маємо ∠BAC = 45°.

Мета полягає в тому, щоб знайти відстань від точки K до прямої AC.

Спочатку ми можемо знайти довжину відрізка AK, використовуючи відому властивість прямокутних трикутників: якщо B - прямий кут, а гіпотенуза ділиться перпендикуляром на дві ділянки з довжинами a та b, то a^2 + b^2 = гіпотенуза^2.

В даному випадку, a = AK, b = BK і гіпотенуза = AC. Тоді маємо:

AK^2 + BK^2 = AC^2 AK^2 + 8^2 = 12^2 AK^2 + 64 = 144 AK^2 = 144 - 64 AK^2 = 80 AK = √80 AK = 4√5 см

Тепер ми маємо довжину відрізка AK. Щоб знайти відстань від точки K до прямої AC, ми використовуємо подібні трикутники:

Відношення довжин відповідних сторін прямокутних трикутників дорівнює відношенню довжин їх гіпотенуз:

AK / AC = BK / BC 4√5 / 12 = 8 / BC BC = (12 * 8) / (4√5) BC = 96 / (4√5) BC = 24 / √5 BC = (24√5 / 5) см

Таким чином, відстань від точки K до прямої AC дорівнює 24√5 / 5 см.