Question

У прямокутну трапецію вписано коло, радіус якого дорівнює 6 см. Точка дотику поділяє більшу бічну сторону трапеції на два відрізки, довжина більшого з яких дорівнює 8 см. Знайдіть площу трапеції. ​

Answer 1

Ответ: S=147см²

Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К М Е Т, центр вписанной окружности О. Стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому: КВ=КМ, МС=СЕ, ЕД=ДТ, АК=АТ. Проведём из вершины С высоту СН и из точки М высоту МТ к основанию АД. МТ является диаметром вписанной окружности и поэтому МТ=6×2=12. СН имеет такую же величину, как МТ. Поэтому

МТ=СН=АВ=12см. Для того чтобы найти площадь трапеции нужно найти её основания, поскольку площадь вычисляется по формуле:

S=(BC+АД)/2×СН. СН=12см.

Если АВ является диаметром, то АК=ВК=радиусу=6см. Так как ВК=ВМ, и АК=АТ, то ВК=ВМ=АК=АТ=6см. АД=6+8=14см. Высоты МТ и СН делят АД так, что ТН=МС. МС=СЕ, поэтому МС=СЕ=ТН. Пусть эти отрезки=х, тогда СД=8+х, ВС=6+х, ДН=8-х. Рассмотрим полученный ∆СДН: в нём: СД - гипотенуза, СН и ДН- катеты. Составим уравнение используя теорему Пифагора: СД²-ДН²=СН²

(х+8)²-(8-х)²=12²

х²+16х+64-(64-16х+х²)=144

х²+16х+64-64+16х-х²=144

32х=144

х=144÷32

х=4,5

ВС=6+4,5=10,5см

Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания:

S=(10,5+14)/2×12=24,5/2×12

=24,5×6=147см²

Answer 2

Давайте позначимо дані:

Радіус кола, вписаного у трапецію: r = 6 см. Довжина більшого відрізку на бічній стороні: a = 8 см.

Ми знаємо, що точка дотику кола до бічної сторони трапеції утворює прямий кут зі стороною, на яку опирається коло. Оскільки коло вписане у трапецію, ця сторона є хордою кола і проходить через центр кола. Тому, відрізок, який поділяє більшу бічну сторону, є діаметром кола.

Довжина діаметра кола дорівнює 2r = 2 * 6 см = 12 см.

Тепер ми можемо побудувати півдіагональ трапеції, яка проходить через центр кола і поділяє діаметр на два відрізки довжини a.

За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів прямокутного трикутника (півдіагоналі) дорівнює квадрату гіпотенузи (діаметра кола).

Запишемо це у рівнянні:

(a/2)^2 + h^2 = r^2

де h - висота трикутника, яка також є висотою трапеції.

Ми знаємо, що (a/2) = 8/2 = 4 см, і r = 6 см.

Підставляючи ці значення в рівняння, маємо:

4^2 + h^2 = 6^2

16 + h^2 = 36

h^2 = 36 - 16

h^2 = 20

h = √20 = 2√5 см

Тепер ми можемо знайти площу трапеції, використовуючи формулу:

S = ((a + b) * h) / 2

де a - менша бічна сторона трапеції, b - більша бічна сторона трапеції, h - висота трапеції.

Зауважимо, що менша бічна сторона трапеції дорівнює різниці довжини діаметра і більшого відрізка:

b - a = 12 - 8 = 4 см

Тоді площа трапеції буде:

S = ((a + b) * h) / 2 = ((8 + 12) * 2√5) / 2 = (20 * 2√5) / 2 = 20√5 см²

Таким чином, площа трапеції дорівнює 20√5 квадратних сантиметрів.