Question

SABCD - правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 3√2. Точка T -середина ребра SС, точка М лежит на прямой BC так, что точка В — середина отрезка МС. Через точки A, T, M проведена плоскость. Найдите сумму квадратов длин всех сторон сечения пирамиды плоскостью ATM.

Answer 1

В сечении - четырёхугольник АКТЕ, симметричный относительно диагонали АТ.

Применим теорему Менелая.

(СМ/ВМ)*(ВК/KS)*(ST/TC) = 1.

(6√2/3√2)*(BK/KS)*((3√2/2)/(3√2/2)) = 1.

Отсюда получаем отношение (BK/KS) = 1/2.

Тогда KS = (2/3)BS = (2/3)*(3√2) = 2√2.

Теперь в треугольнике STK имеем 2 стороны и знаем угол в 60 градусов. По теореме косинусов:

TK = √((3√2/2)² + (2√2)² - 2*(3√2/2)*(2√2)*cos 60) = √((9/2) + 8 - 6) = √(13/2).

Аналогично АК = √((√2)² + (3√2)² - 2*(√2)*(3√2)*cos 60) = √(2 + 18 - 6) = √14.

Отрезки ТЕ и ЕА равны √(13/2) и √14.

Сумма квадратов 2*(13/2) + 2*14 = 13 + 28 = 41.

Answer 2

Давайте пошагово рассмотрим данную задачу.

1. Начнем с построения. У нас есть пирамида SABCD, где все ребра равны 3√2. Точка T - середина ребра SC. Точка M лежит на прямой BC так, что точка B - середина отрезка МС. Плоскость ATM проходит через точки A, T и M.

2. Рассмотрим треугольник BMT. Так как точка B - середина отрезка МС, то длина отрезка MB равна половине длины отрезка SC. Так как все ребра равны 3√2, то длина SC равна 3√2. Следовательно, длина MB равна (3√2) / 2.

3. Теперь рассмотрим треугольник SMT. Точка T - середина ребра SC, а точка M лежит на прямой BC. Из этого следует, что отрезок ST - медиана треугольника SBC, и она делит противоположное ей ребро BC в отношении 2:1. Таким образом, длина ST равна (2/3) * (3√2) = 2√2.

4. Так как у нас есть прямоугольная пирамида SABCD, то угол BSA является прямым. Из этого следует, что угол STM тоже является прямым углом.

5. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ATM. У нас есть две известные стороны: AT = 3√2 (половина длины SA) и TM = (3√2) / 2. Мы также знаем, что угол ATM прямой.

6. Известные стороны и угол позволяют нам использовать теорему Пифагора для нахождения стороны AM: AM^2 = AT^2 + TM^2 AM^2 = (3√2)^2 + ((3√2) / 2)^2 AM^2 = 18 + 9/4 AM^2 = 81/4 AM = 3/2 * √6

7. Теперь у нас есть все стороны треугольника ATM: AT = 3√2, TM = (3√2) / 2 и AM = 3/2 * √6. Мы можем найти длины всех трех сторон сечения пирамиды плоскостью ATM.

8. Длина отрезка TA равна 3√2.

9. Длина отрезка TM равна (3√2) / 2.

10. Длина отрезка AM равна 3/2 * √6.

Теперь, чтобы найти сумму квадратов длин всех сторон сечения пирамиды плоскостью ATM, мы просто возводим каждую из найденных длин в квадрат и складываем их:

(3√2)^2 + ((3√2) / 2)^2 + (3/2 * √6)^2 = 18 + 9/4 + 27/4 * 6 = 18 + 9/4 + 81/4 = 18 + 9 + 81 = 108.

Итак, сумма квадратов длин всех сторон сечения пирамиды плоскостью ATM равна 108.