Question

Задание 1. Даны точки C(1;2; 1) ,A(1;3;0) , B(2;3; 1) . Вычислите угол между векторами AС и АB . 2. Сфера задана уравнением x2 + y2 + z2 - 2 y + 4 z =11. Найдите координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найдите значение m, при котором точки A (m; 1;-2) и принадлежат данной B (√3; m – 6; 2) сфере. 3. Точка В (3; -2; 4) принадлежит плоскости  . Вектор нормали этой плоскости n (1; 2; 3) . Запишите общее уравнение плоскости . . 4. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точки А (1; -2; 3) и В (2; 0; 4).

Answer 1

1. Найти угол между векторами AС и АB.

$\overrightarrow{AC}=(1-1;\;2-3;\;1-0)=(0;\;-1;\;1)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(2-1;\;3-3;\;1-0)=(1;\;0;\;1)$

$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2} =\sqrt{2} \\ \\|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2} =\sqrt{2}$

$cos\angle CAB=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{AB}|}=\frac{0\cdot1+(-1)\cdot0+1\cdot1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} } =\frac{1}{2} \quad \Rightarrow\quad \angle CAB=arccos\frac{1}{2}=60^{\circ}$

*Можно искать не косинус угла, а найти длину вектора BC, тогда ΔABC -- равносторонний и углы равны по 60°.

2. Найти координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найти значение m.

Приведём уравнение к общему виду (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²:

$x^2+y^2+z^2-2y+4z=11\\ \\ x^2+(y^2-2y+1)+(z^2+4z+4)-1-4=11\\ \\ x^2+(y-1)^2+(z+2)^2=16$

Тогда O (x₀; y₀; z₀) -- центр сферы, O (0; 1; -2),

R² = 16  ⇒  R = 4

Если точка принадлежит сфере, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство. Подставим точки A и B в уравнение сферы:

$\left \{ {{m^2+(1-1)^2+(-2+2)^2=16,} \atop {(\sqrt{3} )^2+(m-6-1)^2+(2+2)^2=16}} \right. \\ \\ -\left \{ {{m^2=16,} \atop {m^2-14m+60=16}} \right. \\ \\ m^2- (m^2-14m-60)=16-16\\ \\ 14m+60=0\\ \\ m=-\frac{30}{7}$

3. Найти уравнение плоскости α.

Ax + By + Cy + D = 0 -- общее уравнение плоскости.

n = (A; B; C) -- вектор нормали  ⇒ A = 1, B = 2, C = 3, тогда

$\alpha:\;\; x + 2y+ 3z + D = 0$

Если точка принадлежит плоскости, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство:

$3 + 2\cdot(-2)+ 3\cdot 4 + D = 0\\ \\ 11 =-D\\ \\ D=-11\\ \\ \alpha :\;\;x+2y+3z-11=0$

4. Найти общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой представляет собой систему уравнений двух пересекающихся плоскостей. Решение этой системы есть пересечение плоскостей, то есть прямая.

Зададим прямую параметрически:

$\left\{\begin{matrix}x=x_2+(x_2-x_1)\lambda,\\ y=y_2+(y_2-y_1)\lambda,\\ z=z_2+(z_2-z_1)\lambda;\end{matrix}\right\\\\\\ \left\{\begin{matrix}x=2+(2-1)\lambda,\\ y=0+(0-(-2))\lambda,\\ z=4+(4-3)\lambda;\end{matrix}\right\\\\\\ \left\{\begin{matrix}x=2+\lambda,\\ y=2\lambda,\\ z=4\lambda;\end{matrix}\right$

Исключим параметр λ:

$\left\{\begin{matrix}\lambda=x-2,\\ y=2(x-2),\\ z=4+(x-2);\end{matrix}\right\\\\ \\ \left\{\begin{matrix}y=2x-4,\\ z=x+2;\end{matrix}\right\\ \\\\\ \left\{\begin{matrix}y-2x+4=0,\\ z-x-2=0;\end{matrix}\right$

Последняя система -- это общее уравнение прямой.

Answer 2

1. Для вычисления угла между векторами AC и AB, воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

   Косинус угла = (AC · AB) / (||AC|| * ||AB||),

   где AC · AB - скалярное произведение векторов AC и AB, ||AC|| и ||AB|| - длины векторов AC и AB.

   Вектор AC = (1 - 1, 3 - 2, 0 - 1) = (0, 1, -1), Вектор AB = (2 - 1, 3 - 3, 1 - 0) = (1, 0, 1).

   Скалярное произведение AC · AB = 01 + 10 + (-1)*1 = -1, Длина вектора AC = √(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = √2, Длина вектора AB = √(1^2 + 0^2 + 1^2) = √2.

   Косинус угла = (-1) / (√2 * √2) = -1/2.

   Теперь найдем угол между векторами: угол = arccos(-1/2) ≈ 120°.

2. Уравнение сферы дано в виде x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 4z = 11. Для нахождения центра и радиуса, нужно привести уравнение сферы к каноническому виду (x - x₀)^2 + (y - y₀)^2 + (z - z₀)^2 = R^2:

   x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 4z = 11, x^2 + (y^2 - 2y) + (z^2 + 4z) = 11, x^2 + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 4z + 4) = 11 + 1 + 4, x^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 16.

   Таким образом, центр сферы: (0, 1, -2), и радиус R = √16 = 4.

3. Общее уравнение плоскости α можно записать используя формулу плоскости, где n = (1, 2, 3) - вектор нормали к плоскости, и (x, y, z) - координаты точки на плоскости:

   n · (r - r₀) = 0, (1, 2, 3) · (x - x₀, y - y₀, z - z₀) = 0, x - x₀ + 2(y - y₀) + 3(z - z₀) = 0.

   Так как точка B(3, -2, 4) принадлежит плоскости α, подставим её координаты и найдем уравнение плоскости:

   3 - x₀ + 2(-2 - y₀) + 3(4 - z₀) = 0, 3 - x₀ - 4 - 2y₀ + 12 - 3z₀ = 0, -x₀ - 2y₀ - 3z₀ + 11 = 0.

4. Для составления общего уравнения прямой, проходящей через точки A(1, -2, 3) и B(2, 0, 4), используем параметрическое уравнение прямой:

   x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct,

   где (x₀, y₀, z₀) - координаты одной из точек, (a, b, c) - направляющий вектор прямой, t - параметр.

   Для направляющего вектора (a, b, c) возьмем разность координат векторов AB:

   (a, b, c) = (2 - 1, 0 - (-2), 4 - 3) = (1, 2, 1).

   Теперь можем записать общее уравнение прямой:

   x = 1 + t, y = -2 + 2t, z = 3 + t.