Question

Найдите площадь прямоугольного треугольника,если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей r и R равны: r=1 см,R=7 см.

Answer 1

Дано : прямоугольный треугольник;

           с - гипотенуза,  r = 1 см,  R = 7 см

Найти : S

Решение :

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы. Радиус равен половине гипотенузы.

$c =2R=2\cdot 7=14$ см

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно посчитать по формуле

$r=p-c$ ,   где p - полупериметр треугольника.

$p=r+c=1+14=15$ см

Площадь треугольника

$S=pr=15\cdot 1=15$ см²

Ответ : 15 см²

Answer 2

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = (полупериметр) * (радиус вписанной окружности),

где полупериметр треугольника равен сумме длин его сторон, разделенной на 2.

В данном случае у нас есть информация о радиусе вписанной окружности (r = 1 см) и описанной окружности (R = 7 см). Также известно, что описанная окружность является описанной вокруг прямоугольного треугольника. Поэтому, если a и b - катеты треугольника, то гипотенуза (c) будет равна диаметру описанной окружности (2 * R):

c = 2 * R = 2 * 7 см = 14 см.

Так как треугольник прямоугольный, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2,

или

14^2 = a^2 + b^2, 196 = a^2 + b^2.

Теперь мы можем найти a и b, используя систему уравнений:

1. Выразим одну из переменных из уравнения радиуса вписанной окружности: r = (a + b - c) / 2.
2. Подставим значение c из уравнения Пифагора: c^2 = a^2 + b^2.

a + b = 2r + c, a + b = 2 + 14, a + b = 16.

Теперь мы знаем сумму a и b, и из уравнения a^2 + b^2 = 196 можем найти квадраты a и b:

a^2 = 196 - b^2.

Подставим сумму a и b из первого уравнения:

a^2 = 196 - (16 - a)^2, a^2 = 196 - (256 - 32a + a^2), a^2 = 196 - 256 + 32a - a^2, 2a^2 - 32a + 60 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

a^2 - 16a + 30 = 0, (a - 10)(a - 6) = 0.

Это дает нам два значения a: a = 10 и a = 6.

Подставим одно из значений a в уравнение a + b = 16, чтобы найти соответствующее значение b:

10 + b = 16, b = 6.

Таким образом, мы получили катеты треугольника: a = 10 см и b = 6 см.

Теперь можем найти полупериметр:

s = (a + b + c) / 2, s = (10 + 6 + 14) / 2, s = 15 см.

И наконец, площадь прямоугольного треугольника можно найти:

Площадь = s * r, Площадь = 15 см * 1 см = 15 см².