Question

АВСD - прямоугольник, М - середина АВ, N - середина ВС, К - середина СD, P - середина AD. Доказать, что MNKP - ромб.

Answer 1

Доказательство:

1. Проведём диагональ АС.

Т.к. М - середина АВ и N - середина BC, то MN - средняя линия ΔАВС, тогда МN || АС, MN = 1/2 АС

2.Т.к. К - середина СD и Р - середина AD, то PK - средняя линия ΔАСD, тогда РК || АС, РК = 1/2 AC.

3.Т.к. MN || AC, PK || AC, MN = 1/2 AC= PK, то MN || PK и MN = PK, значит MNKP - параллелограмм.

4.Т.к. АВСD - прямоугольник, то угол А = углу В = углу С = углу D = 90° , PA = PD = NC = BN , MB = AM = CK = KD, значит ΔМАР = ΔMBN = ΔKCN = ΔKDP (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует:

MN = NK = KP = PM, значит MNKP - ромб.

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник MNKP является ромбом, нам нужно показать, что его все стороны равны между собой. Для этого воспользуемся свойствами серединных перпендикуляров в прямоугольнике.

У нас есть прямоугольник ABCD, и мы знаем, что:

1. M - середина AB.
2. N - середина BC.
3. K - середина CD.
4. P - середина AD.

Давайте рассмотрим пары точек: M и K, M и N, N и P, K и P.

По определению середины отрезка, координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.

Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).

Тогда координаты точек M, N, K и P будут следующими:

M: ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) N: ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2) K: ((x3 + x4) / 2, (y3 + y4) / 2) P: ((x1 + x4) / 2, (y1 + y4) / 2)

Давайте рассмотрим стороны MN, NK, KP и PM и покажем, что они равны.

1. MN: Длина MN равна корню из суммы квадратов разностей координат точек M и N: MN^2 = ((x1 + x2) / 2 - (x2 + x3) / 2)^2 + ((y1 + y2) / 2 - (y2 + y3) / 2)^2 = ((x1 - x3) / 2)^2 + ((y1 - y3) / 2)^2

2. NK: Аналогично, длина NK равна: NK^2 = ((x2 + x3) / 2 - (x3 + x4) / 2)^2 + ((y2 + y3) / 2 - (y3 + y4) / 2)^2 = ((x2 - x4) / 2)^2 + ((y2 - y4) / 2)^2

3. KP: Длина KP равна: KP^2 = ((x3 + x4) / 2 - (x1 + x4) / 2)^2 + ((y3 + y4) / 2 - (y1 + y4) / 2)^2 = ((x3 - x1) / 2)^2 + ((y3 - y1) / 2)^2

4. PM: Длина PM равна: PM^2 = ((x1 + x4) / 2 - (x1 + x2) / 2)^2 + ((y1 + y4) / 2 - (y1 + y2) / 2)^2 = ((x4 - x2) / 2)^2 + ((y4 - y2) / 2)^2

Мы видим, что все выражения для длин квадратов сторон MN, NK, KP и PM равны между собой. Это означает, что длины сторон MN, NK, KP и PM равны друг другу. Следовательно, четырёхугольник MNKP является ромбом, так как у него все стороны равны.