Question

4. Діагоналі трапеції у точці перетину діляться у відношенні 2:5, менша основа дорівнює 6 см, висота дорівнює 7 см. Знайти площу трапеції.​

Answer 1

Відповідь:

73,5 см²

Пояснення:

Кожна діагональ трапеції в точці перетину ділиться на дві частини з таким співвідношенням довжини, як співвідношення між основами:

МР/КТ=ОР/КО

Нехай ОР=2х см, КО=5х см

6/КТ=2х/5х

КТ=6*5х:2х=15 см

S(КМРТ)=(МР+КТ):2*РН=(6+15):2*7=73,5 см²

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо скористатися пропорцією між діагоналями трапеції:

$\frac{AB}{CD} = \frac{EF}{GH}.$

Де:

• $AB$ і $CD$ - діагоналі трапеції;
• $EF$ і $GH$ - відповідні їм сегменти діагоналей.

Ми знаємо, що $EF$ ділить $AB$ у відношенні 2:5. Отже, можемо позначити $EF = 2x$, $AB = 5x$.

Також нам дано, що менша основа дорівнює 6 см (позначимо як $b$), а висота - 7 см (позначимо як $h$).

Ми можемо використовувати властивість паралелограма (до якого належить трапеція): діагоналі паралелограма розділяються пополам.

Тепер ми можемо застосувати теорему Піфагора до прямокутного трикутника AEF:

$(EF)^2 = (AE)^2 + (AF)^2.$

Підставимо відомі значення:

$(2x)^2 = (h)^2 + \left(\frac{AB - b}{2}\right)^2.$

Розкриваємо квадрат:

$4x^2 = h^2 + \frac{(5x - 6)^2}{4}.$

Розкриваємо квадрат у дробу:

$4x^2 = h^2 + \frac{25x^2 - 60x + 36}{4}.$

Помножимо обидві сторони рівняння на 4, щоб позбутися дробу:

$16x^2 = 4h^2 + 25x^2 - 60x + 36.$

Згрупуємо подібні члени:

$16x^2 - 25x^2 = 4h^2 - 60x + 36.$

Отримаємо:

$-9x^2 = 4h^2 - 60x + 36.$

Поділимо обидві сторони на -9:

$x^2 = -\frac{4h^2}{9} + \frac{20x}{3} - 4.$

Підставимо значення $h = 7$:

$x^2 = -\frac{4 \cdot 7^2}{9} + \frac{20x}{3} - 4.$

Розв'яжемо це рівняння відносно $x$:

$x^2 = -\frac{196}{9} + \frac{20x}{3} - 4,$ $x^2 = -\frac{196}{9} + \frac{60x}{9} - \frac{36}{9},$ $x^2 = \frac{-196 + 60x - 36}{9},$ $9x^2 = -196 + 60x - 36,$ $9x^2 - 60x + 196 = 0.$

Тепер ми можемо використати квадратний корінь для знаходження значення $x$:

$x = \frac{-(-60) \pm \sqrt{(-60)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 196}}{2 \cdot 9},$

$x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 7056}}{18},$

$x = \frac{60 \pm \sqrt{-3456}}{18}.$