Question

Обчисли радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо один із його кутів дорівнює 60 ° , а протилежна йому сторона — 12 см.

Answer 1

По теореме синусов:

$2R=\dfrac a{\sin \alpha}$

Где R - радиус описанной окружности около треугольника , а - сторона треугольника, α - угол лежащий напротив а.

Таким образом

$R=\dfrac{12}{2\sin 60^{\circ} }=\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot \dfrac{\sqrt3}2} =\\\\=\dfrac{4\cdot \sqrt3 \cdot \sqrt3 }{\sqrt3} =4\sqrt3$

Ответ: 4√3 см.

Answer 2

Для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника, ми можемо використовувати формулу відношення між радіусом кола і стороною трикутника:

$R = \frac{abc}{4K},$

де $R$ - радіус описаного кола, $a, b, c$ - сторони трикутника, $K$ - площа трикутника.

У нашому випадку, ми знаємо, що один із кутів дорівнює 60°, а протилежна йому сторона $c = 12$ см. Також, ми знаємо, що площа трикутника може бути знайдена за формулою Герона:

$K = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)},$

де $s$ - півпериметр трикутника, $a$ і $b$ - інші дві сторони.

З огляду на те, що один з кутів трикутника дорівнює 60°, ми знаємо, що це рівносторонній трикутник, тобто всі сторони рівні. Таким чином, $a = b = c = 12$ см.

Підставляючи ці значення в формули, ми отримаємо:

$K = \sqrt{s(s - 12)(s - 12)(s - 12)},$

де $s = \frac{3c}{2} = 18$ см.

Обчислюємо площу:

$K = \sqrt{18 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6} = 216 \, \text{см}^2.$

Тепер, підставляючи значення площі та сторін у формулу радіусу, маємо:

$R = \frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{4 \cdot 216} = \frac{1728}{216} = 8 \, \text{см}.$

Отже, радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює 8 см.