Question

в цилиндр вписан шар и около него описан шар площадь поверхности вписанного шара равна 72 pi см^2. Найдите объем описанного шара​

Answer 1

1. шар вписан в цилиндр. осевое сечение цилиндра+вписанного шара - окружность, вписанная в квадрат.

диаметр вписанного шара D₁=высоте цилиндра Н=диаметру основания цилиндра=стороне квадрата(осевого сечения)

Vш=(4/3)πR³. 36π=(4/3)πR³. R³=27. R₁=3 дм

а=2*R₁. a=6 дм

2. шар описан около цилиндра. осевое сечение цилиндр+описанный шар - окружность, описанная около квадрата.

диаметр описанной около квадрата окружности D₂= диагонали квадрата d.

d²=a²+a². d²=2a². d=a√2

D₂=6√2. R₂=3√2

V₂=(4/3)πR₂³

V₂=(4/3)*π*(3√2)³

V₂=144√2π дм³ объем шара, описанного около цилиндра.

Answer 2

Давайте обозначим радиус вписанного шара как $r$, а радиус описанного шара как $R$.

Для вписанного шара, известно, что его площадь поверхности равна $72 \pi \, \text{см}^2$. Площадь поверхности вписанного шара выражается как $4 \pi r^2$. Поэтому у нас есть:

$4 \pi r^2 = 72 \pi$

Решим это уравнение для $r$:

$r^2 = \frac{72 \pi}{4 \pi} = 18$

$r = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

Теперь у нас есть радиус вписанного шара $r$. Объем шара выражается как $\frac{4}{3} \pi r^3$, поэтому объем вписанного шара:

$V_{\text{вписанный}} = \frac{4}{3} \pi (3 \sqrt{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (3^3) \cdot 2 = 72 \pi \cdot 2 = 144 \pi \, \text{см}^3$

Теперь давайте перейдем к объему описанного шара. Поскольку он окружает вписанный шар, радиус описанного шара $R$ будет равен сумме радиуса вписанного шара $r$ и радиуса внешнего слоя, который также равен $r$:

$R = r + r = 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$

Объем описанного шара:

$V_{\text{описанный}} = \frac{4}{3} \pi (6 \sqrt{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (6^3) \cdot 2 = 288 \pi \cdot 2 = 576 \pi \, \text{см}^3$

Итак, объем описанного шара составляет $576 \pi \, \text{см}^3$.