Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (−1; −1), B (−3; 1), C (1; 5) и D (3; 3) является прямоугольником.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что его стороны перпендикулярны друг другу. Для этого достаточно проверить, что векторы, соответствующие соседним сторонам, являются перпендикулярными. Вектор перпендикулярен другому вектору, если их скалярное произведение равно нулю.

Для данного случая у нас есть четыре стороны: AB, BC, CD и DA. Рассмотрим их векторные представления:

AB: $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-3 - (-1), 1 - (-1)) = (-2, 2)$ BC: $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (1 - (-3), 5 - 1) = (4, 4)$ CD: $\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (3 - 1, 3 - 5) = (2, -2)$ DA: $\vec{DA} = \vec{A} - \vec{D} = (-1 - 3, -1 - 3) = (-4, -4)$

Теперь вычислим скалярные произведения для всех пар соседних векторов:

1. $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot (4) + (2) \cdot (4) = 0$
2. $\vec{BC} \cdot \vec{CD} = (4) \cdot (2) + (4) \cdot (-2) = 0$
3. $\vec{CD} \cdot \vec{DA} = (2) \cdot (-4) + (-2) \cdot (-4) = 0$

Таким образом, скалярные произведения для всех пар соседних векторов равны нулю, что означает, что стороны четырёхугольника ABCD перпендикулярны друг другу. Следовательно, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.