Question

Катет прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а його проекція на гіпотенузу — 9 см. Знайдіть площу трикутника і периметр​

Answer 1

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ΔABC - прямоугольный.

∠С = 90°.

СН - высота, проведённая к гипотенузе АВ.

НВ - проекция катета СВ на гипотенузу АВ = 9 см.

СВ = 15 см.

Найти:

S(ΔАВС) = ?

P(ΔАВС) = ?

Решение:

Пусть АН = х.

По свойству проекций -

$CB=\sqrt{HB*AB}$

АB = 9 (cм)+х.

Подставим в формулу известные нам значения и решим полученное уравнение -

$15=\sqrt{9(9+x)}\\\\15^{2} =(\sqrt{9(9+x)}^{2} \\\\225 = 9(9+x)\\\\225=81+9x\\\\9x=225-81\\\\9x=144\\\\x=16$

АН = х = 16 см.

АВ = 9 см+16 см = 25 см.

По теореме Пифагора -

$><em></em></p> <p><em>Подставим в формулу известные нам значения и найдём значение АС - </em></p> <p><em></em><img src=$

AC = 20 см.

P(ΔАВС) = АС+АВ+СВ = 20 см+25 см+15 см = 60 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов -

S(ΔABC) = 0,5*CB*AC

S(ΔABC) = 0,5*15 см*20 см

S(ΔABC)  = 150 см².

Ответ: 150 см², 60 см.

Answer 2

Давайте позначимо дані умови:

Катет прямокутного трикутника: $a = 15$ см, Проекція на гіпотенузу: $b = 9$ см.

Ми можемо скористатися властивостями подібних трикутників для знаходження інших сторін та величин трикутника.

Відношення сторін подібних трикутників рівне відношенню відповідних сторін. Тобто:

$\frac{b}{a} = \frac{c}{h}$,

де $c$ - гіпотенуза трикутника, $h$ - висота трикутника, спущена на гіпотенузу.

Ми знаємо значення $a = 15$ см та $b = 9$ см, тому можемо підставити їх у рівняння:

$\frac{9}{15} = \frac{c}{h}$.

Розв'язавши рівняння відносно $c$, ми отримаємо значення гіпотенузи:

$c = \frac{9}{15} \cdot h$.

Знаючи, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи в прямокутному трикутнику (за теоремою Піфагора), ми можемо записати:

$a^2 + c^2 = h^2$.

Підставляючи вираз для $c$ з попереднього рівняння, маємо:

$15^2 + \left(\frac{9}{15} \cdot h\right)^2 = h^2$.

Розв'язавши це рівняння відносно $h$, ми зможемо знайти висоту трикутника.

Отримане значення висоти $h$ можна використовувати для знаходження площі трикутника ($S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$) і периметру ($P = a + b + c$).

Також, знаючи величини катетів $a$ і $b$, можна застосувати теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Після знаходження всіх величин, можна обчислити площу та периметр трикутника.