Question

4. Найдите радиусы двух касающихся окружностей, если они пропорциональны числам 5 и 3, а расстояние между центрами окружностей равно 16 см. Рассмотрите два варианта. [4]

Answer 1

Ответ:

R1 = 10 см

R2 = 6 см

Объяснение:

5x + 3x = 8x

8x = 16

x = 2

R1 = 5x = 5*2 = 10 см

R2 = 3x = 3*2 = 6 см

Answer 2

Пусть $r_1$ и $r_2$ - радиусы двух касающихся окружностей, а $d$ - расстояние между их центрами.

Первый вариант: Одна окружность лежит внутри другой.

В этом случае, расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

$d = r_1 + r_2$

Также известно, что радиусы окружностей пропорциональны числам 5 и 3:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{3}$

Из первого уравнения выразим $r_2$ через $r_1$:

$r_2 = d - r_1$

Подставим это значение во второе уравнение:

$\frac{r_1}{d - r_1} = \frac{5}{3}$

Решим это уравнение относительно $r_1$:

$3r_1 = 5(d - r_1)$ $3r_1 = 5d - 5r_1$ $8r_1 = 5d$ $r_1 = \frac{5d}{8}$

Теперь, используя первое уравнение, найдем $r_2$:

$r_2 = d - r_1 = d - \frac{5d}{8} = \frac{3d}{8}$

Второй вариант: Обе окружности лежат внешней стороной друг от друга.

В этом случае, расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов:

$d = |r_1 - r_2|$

Используя пропорциональность радиусов:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{3}$

Можно выразить один из радиусов через другой:

$r_1 = \frac{5}{3}r_2$

Подставим это значение в уравнение расстояния:

$d = \left|\frac{5}{3}r_2 - r_2\right| = \frac{2}{3}r_2$

Отсюда:

$r_2 = \frac{3d}{2}$

И соответственно:

$r_1 = \frac{5}{3}r_2 = \frac{5}{3} \cdot \frac{3d}{2} = \frac{5d}{2}$

Итак, в первом варианте радиусы окружностей будут $\frac{5d}{8}$ и $\frac{3d}{8}$, а во втором варианте - $\frac{5d}{2}$ и $\frac{3d}{2}$.