Question

Доведіть що в рівнобедреному трикутнику всі медіани, проведені до бічних сторін рівні

Answer 1

Ответ:

Розвязання: Нехай даний трикутник АВС з основою АС і бічними сторонами АВ=ВСAK, CF - медіани, проведені до бічних сторін бічні сторони трикутника рівні за означенням рівнобедреного трикутника. АВ=ВС, а отже будуть рівні їі їт половини 12ВС=12АB, тобтоCK=AF кути при основі трикутника рівні (властивість рівнобедреного трикутника),тобто кут А=кут С Трикутник АСF=CAK за двома сторонами і кутом між ними відповідноCK=AF, кут А=кут С, АС=СА). З рівності трикутників випливає рівність медіан СF=AKю Доведено

Answer 2

Для доведення, що в рівнобедреному трикутнику всі медіани, проведені до бічних сторін, є рівними, ми можемо скористатися властивостями рівнобедреного трикутника та властивостями медіан.

Рівнобедрений трикутник має дві рівні бічні сторони і дві рівні кути при цих сторонах. Нехай ABC - рівнобедрений трикутник з бічними сторонами AB = AC.

Медіана - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Позначимо M точку перетину медіани, проведеної з вершини A, з протилежною бічною стороною BC.

Оскільки AM - медіана, вона ділить BC навпіл, тобто BM = MC. Покажемо, що так само будуть ділитися на пів середини BM та CM.

Позначимо точку D на стороні AB так, що BD = CM. Оскільки BM = MC, а BC = AC (оскільки ABC - рівнобедрений трикутник), ми отримуємо, що BD = AC.

З рівністю BD = AC ми маємо дві рівні сторони та кут між ними, тому трикутники BDC і CMA є рівними за теоремою SSS (сторона-сторона-сторона).

Отже, кути BDC і CMA також рівні. Але ми знаємо, що BDC і CMA є кутами медіан, оскільки MD - медіана трикутника ABC, проведена з вершини A, і MD поділяє BC навпіл.

Звідси випливає, що всі кути BDC і CMA рівні, тобто трикутники BDC і CMA є рівнобедреними.

Оскільки ми маємо два рівнобедрені трикутники BDC і CMA, то їх сторони також рівні. Зокрема, BD = CM.

Але ми показали раніше, що BD = CM. Таким чином, ми маємо BD = CM,