Question

Срочно!!!! 7 класс На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точку M, а на стороне AB — точку K такие, что BK = KM и KM || BC. Докажите, что AM = MC.

Answer 1

Проведем МN||АВ..

Четырехугольник КВNM - параллелограмм по построению =>

MN=ВК

Рассмотрим треугольники АКМ и СNМ

В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании АС равны. =>

∠ВАМ=∠ВСМ

∠АКМ=∠СNМ=∠АВС - соответственные при параллельных прямых и секущей.

Если в  треугольниках два угла равны, то равны е третьи углы. => ∠КАМ=∠NMC

ΔАКМ = ΔСNM по второму признаку равенства треугольников. Сходственные элементы равных треугольников равны.  =>

АМ=СМ, ч.т.д.

————

Или:

КМ||ВС по условию,, ⇒∠КМА=∠ВСМ - соответственные при параллельных прямых КМ и ВС и секущей АС.

Δ АВС  равнобедренный ⇒ ∠ВАС=∠ВСА, следовательно, в ∆ АКМ углы при М и А равны, ∆ АКМ - равнобедренный. КА=КМ=ВК

КМ параллельна ВС ⇒  КМ - средняя линия ∆ АВС и М - середина АС. Отсюда следует равенство АМ=МС.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и попробуем доказать, что $AM = MC$.

Мы знаем, что треугольник $ABC$ - равнобедренный, так что $AC = BC$. Также, по условию, $KM || BC$, что означает, что угол $KMC$ равен углу $ACB$ (они соответственные углы при параллельных линиях).

Теперь давайте рассмотрим треугольник $KMC$. У нас есть две стороны, равные $KM$ и $MC$, и один угол между ними, равный углу $ACB$.

Поскольку мы знаем длины сторон и угол между ними, мы можем использовать закон синусов:

$\frac{KM}{\sin KMC} = \frac{MC}{\sin MKC}$

Но мы также заметили, что $KM = BK$, так как $BK = KM$. Подставим это в уравнение:

$\frac{BK}{\sin KMC} = \frac{MC}{\sin MKC}$

Так как угол $KMC$ равен углу $ACB$, а угол $MKC$ - это угол $KMC$ минус угол $ACB$, мы можем записать:

$\frac{BK}{\sin ACB} = \frac{MC}{\sin (180^\circ - ACB)}$

Угол $180^\circ - ACB$ равен углу $ACB$ (так как это сумма углов в треугольнике, и у нас равнобедренный треугольник), поэтому:

$\frac{BK}{\sin ACB} = \frac{MC}{\sin ACB}$

Теперь мы видим, что $\sin ACB$ сокращается на обеих сторонах, и у нас остается:

$BK = MC$

Но так как $BK = KM$, это также означает, что $KM = MC$. Теперь у нас есть равенство сторон $KM$ и $MC$, что означает, что треугольник $KMC$ - равнобедренный.

Теперь давайте вернемся к треугольнику $AMC$. У нас есть стороны $AM$ и $MC$ равные, и угол между ними $AMC$ равен углу $KMC$. Это также соответственные стороны и угол в двух треугольниках.

Из равнобедренности треугольника $KMC$ следует, что $AM = MC$.

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике $ABC$, если на стороне $AB$ отметить точку $K$ так, что $BK = KM$ и $KM || BC$, то верно, что $AM = MC$.