Question

Із точки, віддаленої від площини на відстані 10 см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути в 60°, а між собою кут в 30°. Знайдіть відстань між кінцями похилих.

Answer 1

Ответ: АС=6√10см

Объяснение: Обозначим расстояние от точки до плоскости ВО, наклонные АВ и ВС. Рассмотрим ∆АВО и ∆ВСО. Они прямоугольные где АО, ВО, СО - катеты, а АВ и ВС- гипотенузы. Также в них ВО - общий катет, и угол А=углу С=60°. Эти треугольники равны по катету и острому углу, поэтому АО=ОС и АВ=ВС. Соответственно ∆АВС- равнобедренный, где АО=СО. Рассмотрим ∆АВО, он прямоугольный. В нём угол АОВ=90°, угол А=60°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет 90°, поэтому угол АВО=углу СВО=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому катет АО=СО=½×АВ. Пусть АО=х, тогда АВ=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

АВ²-АО²=ВО²

(2х)²-х²=10²

4х²-х²=100

3х²=100

х²=100/3

х=√(100/3)

х=10/√3

Итак: АО=СО=10/√3см, тогда

АВ=ВС=10√3×2=20√3см

Так как угол В между наклонными составляет 30°, найдём АС, по теореме косинусов:

АС²=АB²+BC²-2×AB×BC×cosB=

=(20√3)²+(20√3)²-2×(20√3²)×cos30°=

=400×3+400×3-2×400×3×√3/2=

=1200+1200-1200√3=2400-1200×1,7=

=2400-2040=360

АС=√360=6√10см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі можна використати геометричні властивості трикутників та тригонометрію.

Позначимо відстань між кінцями похилих як "d". За умовою задачі ми маємо дві похилі із точки, віддаленої на 10 см від площини. Давайте розглянемо трикутник, утворений однією з похилих, відстанню до площини та відстанню між кінцями похилих.

У цьому трикутнику ми маємо:

1. Одну сторону - відстань до площини, яка дорівнює 10 см.
2. Кут між цією стороною і похилою - 60°.

За тригонометричними властивостями косинуса:

$\cos(60°) = \frac{10}{d},$

$\frac{1}{2} = \frac{10}{d},$

$d = \frac{10}{\frac{1}{2}},$

$d = 20 \text{ см}.$

Отже, відстань між кінцями похилих дорівнює 20 см.