Question

У трикутнику ABC АС=2√2, АВ=2√3, кут В = 45°. Знайдіть кут С

Answer 1

По теореме синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{AC}{sin$

$sin45^0}=\frac{\sqrt{2} }{2}$

$sin$

$sin$

$sin$    

Ответ:  ∠С = 60°

Answer 2

Давайте спершу знайдемо сторону BC трикутника ABC за допомогою теореми косинусів, використовуючи відомі сторони AC і AB:

Теорема косинусів: у трикутнику ABC зі сторонами a, b і c та протилежними їм кутами A, B і C відповідно: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C).$

В даному випадку маємо: AC = 2√2, AB = 2√3, B = 45°.

Підставляючи дані до теореми косинусів, отримуємо: $BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(45°).$

Спростимо це: $BC^2 = 8 + 12 - 12 \cdot \cos(45°).$

Враховуючи, що $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, отримаємо: $BC^2 = 20 - 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 - 6\sqrt{2}.$

Тепер можна знайти довжину сторони BC: $BC = \sqrt{20 - 6\sqrt{2}}.$

Аби знайти кут C, використаємо теорему синусів:

Теорема синусів: У трикутнику ABC зі сторонами a, b і c та протилежними їм кутами A, B і C відповідно: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}.$

В нашому випадку: $AC = 2\sqrt{2}, \quad AB = 2\sqrt{3}, \quad BC = \sqrt{20 - 6\sqrt{2}}, \quad B = 45°.$

Підставляючи в теорему синусів, отримаємо: $\frac{2\sqrt{2}}{\sin(C)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin(45°)} = \sqrt{20 - 6\sqrt{2}}.$

Розв'язавши відносно $\sin(C)$, отримаємо: $\sin(C) = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{20 - 6\sqrt{2}}}.$

Тепер знаючи значення $\sin(C)$, можна знайти кут C за допомогою оберненої функції синуса: $C = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{20 - 6\sqrt{2}}}\right).$

За допомогою калькулятора чи математичного програмного забезпечення можна знайти наближене значення кута C.