Question

У прямокутній трапеції менша основа дорівнює 21 см. Обчислити площу трапеції, якщо довжина кола, вписаного в неї, дорівнює 24П см.

Answer 1

Ответ: S=588см²

Объяснение: стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К Е М Н, центр окружности О. Поэтому, ВК=ВЕ=АК=АН=радиусу, МД=НД, а ЕС=СМ. Так как нам известна длина окружности L, найдём её радиус, используя формулу длины окружности:

L=2πr

r=L/2π=24π/2π=12см.

Итак: r=12см

АВ и ЕН также являются высотами трапеции и равны диаметру:

АВ=ЕН= 12×2=24см

Если ВЕ=12см, то ЕС=21-12=9см

ЕС=СМ=9см

Теперь найдём основание АД, используя формулу нахождения радиуса:

r=√(CM×МД) поменяем местами левую и правую часть уравнения:

√(СМ×МД)=r

√(9×MД)=12. Возведём в квадрат левую и правую часть уравнения:

(√9×МД)²=12²

9МД=144

МД=144/9

МД=16см

МД=НД=16см

Тогда АД=АН+НД=12+16=28см

Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания по формуле:

S=(ВС+АД)/2×АВ=

=(21+28)/2×24=49×12=588см²

Answer 2

Для вирішення цієї задачі ми можемо скористатися формулою для площі трапеції:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h,$

де $a$ та $b$ - основи трапеції, а $h$ - її висота.

Дано: менша основа $b = 21$ см.

Також дано, що довжина кола, вписаного в трапецію, дорівнює $24\pi$ см. Довжина кола $L$ пов'язана з радіусом $r$ так:

$L = 2\pi r.$

У нашому випадку, $L = 24\pi$, тому:

$2\pi r = 24\pi.$

Поділимо обидві сторони на $2\pi$:

$r = 12.$

Таким чином, радіус вписаного кола $r = 12$ см.

Висота трапеції дорівнює радіусу вписаного кола $h = 12$ см.

Тепер ми можемо підставити відомі значення в формулу для площі трапеції:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{21 + a}{2} \cdot 12.$

Маємо рівняння для площі трапеції, але нам потрібно знайти значення меншої основи $a$. Це можна зробити, знаючи, що сума довжин основ трапеції дорівнює довжині кола, вписаного в неї:

$a + b = L,$ $a + 21 = 24\pi,$ $a = 24\pi - 21.$

Тепер можемо підставити це значення $a$ в формулу для площі трапеції:

$S = \frac{21 + (24\pi - 21)}{2} \cdot 12.$

Обчислимо:

$S = \frac{24\pi}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12\pi = 144\pi.$

Отже, площа трапеції дорівнює $144\pi$ квадратних сантиметрів.