Question

В колі проведено хорди АВ і NК, які перетинаються в точці Р, АР = РВ, АВ перпердикулярне NК, кут BNK=60⁰ , РК = 2√3 см. Знайдіть периметр трикутника АВК. ​

Answer 1

Відповідь 12 см.

Розв'язання завдання додаю.

Answer 2

Давайте спробуємо вирішити це завдання крок за кроком.

За умовою, ми маємо:

1. АР = РВ (хорда АВ розділяється точкою Р навпіл, отже, Р - середина хорди АВ).
2. АВ перпендикулярне NК (АВ і NК є діаметрами кола, тому графічно вони перпендикулярні один одному).
3. Кут BNK = 60⁰.
4. РК = 2√3 см.

Ми можемо розглянути трикутник BNK. У нас вже є кут і протилежна сторона. Знаючи, що BNK = 60⁰, ми можемо виразити сторону NK через сторону BN:

NK = BN * sin(BNK).

Але ми не маємо прямокутного трикутника BNK. Щоб знайти сторону BN, нам потрібно врахувати властивість кола: будь-яка хорда, яка проходить через центр кола, буде діаметром.

Оскільки Р - середина хорди АВ і АВ перпендикулярне NК, це означає, що AN = NB (довжина діаметра дорівнює довжині діаметра).

Зараз ми можемо обчислити сторону BN:

BN = AN = RN + RA = RK + RA.

Відомо, що RK = 2√3 см. Залишається знайти RA.

Враховуючи, що Р - середина хорди АВ, ми можемо розглянути трикутник APR. У цьому трикутнику РА - медіана, і вона розділяє протилежну сторону АВ навпіл. Таким чином, АР = РВ = 0.5 * АВ.

Ми маємо АР + РК = АВ (за властивостями медіани). Підставляючи дані, отримуємо:

0.5 * АВ + 2√3 = АВ.

Звідси ми можемо знайти АВ:

0.5 * АВ = 2√3, АВ = 4√3.

Тепер ми знаємо довжини АВ і RK, і можемо знайти BN:

BN = RK + RA = 2√3 + 4√3 = 6√3.

Тепер, використовуючи сторону BN і величину кута BNK = 60⁰, ми можемо знайти сторону NK:

NK = BN * sin(BNK) = 6√3 * sin(60⁰) = 6√3 * (√3 / 2) = 9 см.

Знаючи сторони NK і АК, ми можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження сторони AK:

AK² = NK² + NA², AK² = 9² + (4√3)², AK² = 81 + 48, AK² = 129, AK = √129.

Тепер ми маємо довжини всіх трьох сторін трикутника АВК: AV = 4√3, AK = √129, і VK = 2√3.

Зараз ми можемо знайти периметр трикутника АВК:

Периметр = AV + AK + VK = 4√3 + √129 + 2√3 = 6√3 + √129.

Це є окончательна відповідь.