Question

Найти косинус угла C треугольника ABC, если A (8;-1;2), B7;1;3 и C(7;0;2)

Answer 1

............................................

Answer 2

Для вычисления косинуса угла C треугольника ABC, нам необходимо использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами. Пусть вектор AB и вектор AC будут векторами, исходящими из вершины A треугольника. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$\cos(C) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{AC}\|}$

Где $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов, а $\|\mathbf{V}\|$ обозначает длину вектора $\mathbf{V}$.

Сначала нам нужно найти векторы $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AC}$:

$\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (7 - 8, 1 - (-1), 3 - 2) = (-1, 2, 1)$ $\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (7 - 8, 0 - (-1), 2 - 2) = (-1, 1, 0)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AC}$:

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1$

А также вычислим длины векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AC}$:

$\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ $\|\mathbf{AC}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

Теперь можем подставить значения в формулу для косинуса:

$\cos(C) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{AC}\|} = \frac{1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{12}}{12}$

Таким образом, косинус угла C треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{12}}{12}$.