Question

Прямоугольный треугольник с катетами 2см и 5 см вращается около меньшего катета. Определить поверхность тела вращения и объём.

Answer 1

Решение на фото:

___________________

Answer 2

Чтобы найти поверхность тела вращения и объём, нужно воспользоваться методом вращения фигуры вокруг одной из её сторон. В данном случае, треугольник вращается вокруг меньшего катета, то есть вокруг отрезка длиной 2 см.

Поверхность тела вращения можно найти, используя интеграл для длины дуги и интеграл для площади поверхности вращения. Для удобства рассмотрим треугольник как прямоугольный треугольник, в котором меньший катет равен 2 см, а больший катет равен 5 см.

Объём можно найти, используя интеграл для объёма тела вращения.

Последовательность действий следующая:

1. Рассчитаем длину дуги меньшего катета (2 см), по которой будет вращаться треугольник. Для этого воспользуемся формулой длины дуги вращения:

   Длина дуги = 2 * π * радиус (в данном случае, радиус равен 2 см).

2. Рассчитаем площадь поверхности вращения. При вращении треугольника вокруг меньшего катета он образует внешнюю поверхность конуса, поэтому площадь поверхности можно найти как площадь боковой поверхности конуса:

   Площадь поверхности = π * радиус * длина дуги.

3. Рассчитаем объём тела вращения. Объём можно найти, используя формулу для объёма конуса:

   Объём = (1/3) * π * радиус^2 * высота конуса.

   В данном случае, высота конуса будет равна большему катету треугольника (5 см).

4. Подставим значения и выполним вычисления.

После вычислений, вы получите поверхность тела вращения и объём.