Question

2sin^2x-cosx-1=0 решите пж

Answer 1

Из основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1, выразим

sin2x = 1 – cos2x

Получим уравнение:  

2·(1 – cos2x) + cosx – 1 = 0

2 – 2cos2x + cosx – 1 = 0

2cos2x – cosx – 1 = 0

Введем новую переменную, пусть cosx = a, получим

2a2 – a – 1 = 0

D = 9

a1 = 1, a2 = — 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

cosx = 1  и cosx = — 1/2

Решим 1 уравнение:

cosx = 1

Решим 2 уравнение:

cosx = — 1/2

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

Уравнение: $2\sin^2x - \cos x - 1 = 0$.

Давайте заменим $\sin^2x$ на $1 - \cos^2x$ с использованием тригонометрической идентичности $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$2(1 - \cos^2x) - \cos x - 1 = 0$.

Упростим выражение:

$2 - 2\cos^2x - \cos x - 1 = 0$,

$-2\cos^2x - \cos x + 1 = 0$.

Теперь давайте введем временную переменную, чтобы упростить решение. Пусть $y = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$-2y^2 - y + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение. Давайте решим его с помощью квадратного трехчлена или квадратного уравнения:

$2y^2 + y - 1 = 0$.

Для решения можно воспользоваться квадратным корнем или методом факторизации. Однако, в данном случае, у нас нет целых коэффициентов, которые привели бы к простому факторизованному виду. Поэтому воспользуемся квадратной формулой:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$,

где $a = 2$, $b = 1$ и $c = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.

Так как $D > 0$, у нас есть два различных корня:

$y = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{4}$ и $y = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = -1$.

Вернемся к переменной $x$ и найдем значения углов, для которых $\cos x = \frac{1}{4}$ и $\cos x = -1$. Используя инверсию косинуса, получим:

1. $\cos x = \frac{1}{4}$: $x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ (плюс другие углы, которые имеют такой же косинус).

2. $\cos x = -1$: $x = \pi$ (или $180^\circ$ в градусах).

Итак, решения уравнения $2\sin^2x - \cos x - 1 = 0$ в интервале [0, $2\pi$] (или [0°, 360°] в градусах) равны:

1. $x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ (плюс другие углы с таким же косинусом).
2. $x = \pi$ (или $180^\circ$).

Не забудьте, что тригонометрические функции имеют периодическую природу, поэтому для полного набора решений вам следует добавить к решениям $x$ любые кратные периоду $\pi$ (или $180^\circ$).