Question

На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны точки А1, В1, С1 соответственно причем отрезки АА1 ,ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. Докажите , что OC/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A Помогите пожалуйста!

Answer 1

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим расширенный вид треугольника, как показано на следующем рисунке:

bashCopy code
         B
        / \
       /   \
   A1 /_____\
      \     /
       \   /
   C1   \ /   B1
         O

Где точки обозначаются следующим образом:

• А, В, С - вершины треугольника ABC.
• A1, B1, C1 - соответствующие точки на сторонах BC, AC, AB.
• О - точка пересечения отрезков АА1, ВВ1, СС1.

Теперь давайте воспользуемся подобием треугольников для доказательства равенства OC/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A.

1. Рассмотрим треугольники ABA1 и OCA1. Они подобны по двум углам, так как углы ABA1 и OCA1 являются вертикальными углами (их соответственные стороны параллельны). Таким образом, мы можем записать соотношение длин сторон:

   AB / OA1 = BA1 / CA1 (1)

2. Рассмотрим треугольники BCB1 и OAB1. Они также подобны по двум углам, так как углы BCB1 и OAB1 вертикальны. Это дает нам еще одно соотношение:

   BC / OB1 = CB1 / AB1 (2)

3. Теперь сложим уравнения (1) и (2):

   AB / OA1 + BC / OB1 = BA1 / CA1 + CB1 / AB1

4. Мы знаем, что OA1 = OC1 (потому что они оба являются высотами треугольника ABC из вершины O) и OB1 = OC (потому что О - точка пересечения высот треугольника ABC). Подставляя это в уравнение выше:

   AB / OC1 + BC / OC = BA1 / CA1 + CB1 / AB1

5. Выразим OC1 через OC в первом слагаемом:

   AB / OC + BC / OC = BA1 / CA1 + CB1 / AB1

6. Переносим одно слагаемое налево:

   AB / OC + BC / OC - BA1 / CA1 = CB1 / AB1

7. Общий знаменатель в левой части - это OC. Вынесем его за скобки:

   (AB + BC - BA1) / OC = CB1 / AB1

8. Так как AB + BC = AC (сумма длин сторон треугольника), упростим левую часть:

   AC - BA1 / OC = CB1 / AB1

9. Теперь разделим обе стороны на CB1:

   (AC - BA1) / OC = 1 / AB1

10. Возьмем обратную величину от обеих сторон:

OC / (AC - BA1) = AB1

11. И, наконец, инвертируем обе стороны:

OC / OC1 = CA1 / (AC - BA1) = CA1 / A1B

Что и требовалось доказать. Таким образом, мы доказали, что OC / OC1 = CA1 / A1B + CB1 / B1A.