Question

Про четырёхугольник ABCD известно, что AD∥BC, AC⊥BD. Чему равна длина отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC, если AD=12, BC=7? (ответ не 6)

Answer 1

Дано:

Четырехугольник ABCD, O - точка пересечения диагоналей,

AD || BC и AC ⊥BD,

M - середина AD, N - середина BC,

AD = 12 и BC = 7   (смотрите рисунок).

Найти:

Длина отрезка MN.

Решение:

Заметим, что O ∈ MN, так как угол MON - развернутый:

∠MON = ∠DOC + (∠DOM + ∠CON) = 90° + (∠OCB + ∠OBC) =

= 90° + 90° = 180°.

Значит, нам достаточно найти длину MO + NO.

Так как треугольник AOD прямоугольный, то медиана MO, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе,  равна половине этой гипотенузы (по свойству медианы прямоугольного треугольника):

MO = AD / 2 = 12 / 2 = 6.

Тоже самое можно сказать и о прямоугольном треугольнике BOC с медианой NO:

NO = BC / 2 = 7 / 2 = 3,5.

Значит:

MO + NO = MN = 6 + 3,5 = 9,5.

Ответ:

MN = 9,5 .

Answer 2

Поскольку AD∥BC, мы имеем дело с парами параллельных сторон. Также, поскольку AC⊥BD, это означает, что диагонали пересекаются под прямым углом.

Обозначим точку пересечения диагоналей как точку O. Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то они делят друг друга пополам.

Итак, диагонали AO и CO делят диагональ BD пополам, и диагонали BO и DO делят диагональ AC пополам.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник ABO. Так как AO и BO являются медианами этого треугольника, отрезок OC делит медиану AO в соотношении 2:1. То есть, OC составляет 1/3 от AO.

Поскольку AO и CO делят BD пополам, то OC также делит BD пополам. Следовательно, OD = OC = 1/3 * AO.

Аналогично, рассмотрим треугольник CDO. Так как CO и DO являются медианами этого треугольника, отрезок AO делит медиану CO в соотношении 2:1. То есть, AO составляет 2/3 от CO.

Поскольку BO и DO делят AC пополам, то AO также делит AC пополам. Следовательно, AC = 2 * AO.

Мы знаем, что AO + OC = AC, поэтому AO + 1/3 * AO = 2 * AO, отсюда AO = 3 * OC.

Теперь мы можем найти отношение AO к OD: AO : OD = 3 : 1.

Известно, что AO + OD = AD, следовательно, можно записать: 3 * OD + OD = 12, 4 * OD = 12, OD = 3.

Таким образом, длина отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC (то есть OD), равна 3.