Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (3;5), B (-1;-1), C (-7;-5), и D (-3;-1) является ромбом.

Answer 1

Замечание:

В условии опечатка - должно быть D(-3; 1)

Решение:

Найдем направляющие векторы сторон по формуле:

M(x₁; y₁), N(x₂, y₂) ⇒ MN{x₂ - x₁; y₂ - y₁}, где MN - вектор

A(3; 5), B(-1; -1) ⇒ AB{-4; -6} ⇒ |AB|² = AB² = (-4)² + (-6)² = 16 + 36 = 52;

B(-1; -1), C(-7; -5) ⇒ BC{-6; -4} ⇒ |BC|² = BC² = (-6)² + (-4)² = 36 + 16 = 52;

C(-7; -5), D(-3; 1) ⇒ CD{4; 6} ⇒ |CD|² = CD² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52;

D(-3; 1), A(3; 5) ⇒ DA{6; 4} ⇒ |DA|² = DA² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52;

Получили:

AB² = BC² = CD² = DA² = 52 ⇒ AB = BC = CD = DA ⇒ ABCD - ромб

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, нам нужно показать, что его стороны равны по длине и его углы прямые. Для этого выполним следующие шаги:

1. Вычислим длины всех сторон:

Сторона AB: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((-1 - 3)^2 + (-1 - 5)^2) = √((-4)^2 + (-6)^2) = √(16 + 36) = √52

Сторона BC: BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = √((-7 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2) = √((-6)^2 + (-4)^2) = √(36 + 16) = √52

Сторона CD: CD = √((x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2) = √((-3 - (-7))^2 + (-1 - (-5))^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32

Сторона DA: DA = √((x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2) = √((3 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2) = √(6^2 + 6^2) = √(36 + 36) = √72

2. Проверим, что длины всех сторон равны: AB = BC = CD = DA = √52.

3. Проверим углы:

Сначала вычислим векторы AB и BC: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-1 - 3, -1 - 5) = (-4, -6) BC = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-7 - (-1), -5 - (-1)) = (-6, -4)

Теперь вычислим их скалярное произведение: AB · BC = (-4) * (-6) + (-6) * (-4) = 24 + 24 = 48

Скалярное произведение ненулевых векторов AB и BC положительно, что означает, что угол между ними острый.

4. Аналогично можно проверить угол между векторами BC и CD, CD и DA, а также DA и AB. Во всех случаях углы также острые.

Таким образом, все углы четырёхугольника ABCD острые, и длины его сторон равны. По определению, это ромб.