Question

Точка дотику кола, вписаного в рівнобічну трапецію, ділить її бічну сторону на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.

Answer 1

Ответ: S=20см²

Объяснение:

Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К М Е Т, а центр окружности О. Стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности поэтому отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны между собой от вершины до точки касания. Поэтому:

КВ=ВМ=МС=СЕ=1см. АК=АТ=ТД=ЕД=4см.

Из этого следует что:

АВ=СД=1+4=5см

ВС=1+1=2см

АД=4+4=8см.

Проведём из вершин трапеции В и С две высоты к основанию АД –ВР и СН. Они делят АД так, что РН=ВС=2см. Так как трапеция равнобедренная то АР=ДН=(8-2)/2=6÷2=3. Рассмотрим полученный ∆СДН. Он прямоугольный, в котором СН и ДН –катеты, а СД – гипотенуза. Найдём СН по теореме Пифагора: СН²=СД²-ДН²=

=5²-3²=25-9=16; СН=√16=4

СН=4см

Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и основания по формуле:

S=(BC+AD)/2×CH=(2+8)/2×3=10/2×4=

=5×4=20см²

Answer 2

Давайте позначимо дані умови:

ABCD - рівнобічна трапеція, де AB || CD і AB = CD, і P - точка дотику вписаного кола до бічної сторони.

За умовою, ми знаємо, що відрізок BP дорівнює 1 см, а відрізок CP дорівнює 4 см.

Також, ми знаємо, що точка дотику кола до сторін трапеції є точкою касання, тому вона перпендикулярна до сторін кола в цих точках. Отже, P являє собою серединний перпендикуляр до сторони BC.

Розглянемо трикутник BPC. Це прямокутний трикутник, оскільки BP перпендикулярна BC. Також, ми знаємо довжини катетів: BP = 1 см і CP = 4 см.

Застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи (BC):

BC² = BP² + CP² BC² = 1² + 4² BC² = 1 + 16 BC² = 17 BC = √17 см (довжина гіпотенузи)

Таким чином, BC дорівнює √17 см.

Тепер ми можемо знайти площу трапеції ABCD, використовуючи формулу площі трапеції:

Площа = ((сума основ) × висота) / 2 Площа = ((AB + CD) × BC) / 2 Площа = ((√17 + √17) × √17) / 2 Площа = (2√17 × √17) / 2 Площа = 17

Отже, площа рівнобічної трапеції ABCD дорівнює 17 квадратних сантиметрів.