Question

Вычислить значение tg x, если cos x = –1/5 и π/2< x < π.

Answer 1

tg(x) = sin(x)/cos(x)

cos²x + sin²x = 1

sin²x = 1 - cos²x = 1 - (-1/5)² = 1 - (1/25) = 24/25

$\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{2\cdot\sqrt{6}}{5}$

x принадлежит второй четверти, в которой синус положительный, поэтому $\sin(x) = \frac{2\cdot\sqrt{6}}{5}$.

$\tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\frac{2\cdot\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}}=$

$= -2\cdot\sqrt{6}$.

Answer 2

Известно, что $\cos(x) = -\frac{1}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Так как $\cos(x) = -\frac{1}{5}$, можно воспользоваться тригонометрической тождеством $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

Сначала найдем значение $\sin(x)$: $\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$

Теперь можно вычислить $\tan(x)$: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{\sqrt{24}}{5}}{-\frac{1}{5}} = -\sqrt{24} = -2\sqrt{6}$

Таким образом, $\tan(x) = -2\sqrt{6}$.