Question

Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если большой катет меньше гипотенузы на 10 см и больше за свою проекцию на гипотенузу на 8 см.​

Answer 1

Ответ:

30

Объяснение:

Дан треугольник АВС, где угол В прямой и ВС - больший катет.

ВН- высота .  Тогда НС проекция ВС на гипотенузу.

Заметим, что треугольник ВНС  подобен треугольнику АВС.

Тогда АС/BC=BC/HC     (1)

AC=BC+10     HC=BC-8

Тогда перепишем формулу (1)

(BC+10)/BC=BC/(BC-8)

BC=x

(x+10)/x=x/(x-8)

(x+10)(x-8)-x*x=0

x^2-8x+10x-80-x^2=0

2x-80

x=40 cm

=>AC=40+10=50 cm

AB=sqr (AC^2-BC^2)= sqr (2500-1600)=sqr(900)=30

Answer 2

Пусть больший катет прямоугольного треугольника будет обозначен как a, а гипотенуза - как c. Тогда мы знаем два условия:

a < c - 10 (больший катет меньше гипотенузы на 10 см) a > (c^2 - a^2)^0.5 + 8 (больший катет больше за свою проекцию на гипотенузу на 8 см)

Мы можем использовать эти два условия, чтобы найти ограничения для a.

1. Из первого условия: a < c - 10
2. Из второго условия: a - 8 > (c^2 - a^2)^0.5

Теперь мы можем возвести оба выражения в квадрат:

1. a^2 < (c - 10)^2
2. (a - 8)^2 > c^2 - a^2

Раскроем скобки:

1. a^2 < c^2 - 20c + 100
2. a^2 - 16a + 64 > c^2 - a^2

Теперь объединим два неравенства:

a^2 < c^2 - 20c + 100 a^2 - 16a + 64 > c^2 - a^2

Добавим оба неравенства и упростим:

2a^2 - 16a + 164 > 0

Теперь решим это квадратное неравенство:

2(a^2 - 8a + 82) > 0

a^2 - 8a + 82 > 0

Дискриминант этого квадратного уравнения D = (-8)^2 - 4(1)(82) = 64 - 328 = -264. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных корней, что значит, что неравенство a^2 - 8a + 82 > 0 выполняется для любого значения a.

Следовательно, ограничения на a отсутствуют. Меньший катет может быть любым положительным числом.