Question

Две окружности, отношение радиусов которых равно 2/3, касаются друг друга внутренним образом. Через центр меньшей окружности проведена прямая, перпендикулярная линии центров, и из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведены касательные к меньшей окружности. Найти углы между этими касательными.ответ 90

Answer 1

Ответ:

90 град

Объяснение:

Пусть центр меньшей окружности - точка А, а большей точка В.

Р- точка касания окружностей. Тогда А,В,Р лежат на одной прямой.

Прямая ,которая пересекает перпендикулярно линию центров СТ

С и Т точки пересечения с большей окружностью.

СО и ТО касательные к большей окружности , а М и N  соответственно точки касания.

Так как радиусы относятся как 3:2, обозначим радиус большей окружности 3х, а меньшей 2х, тогда АВ=3х-2х=х

Треугольники АСВ и АТВ равны ( гипотенуза - радиус большей окружности и катет АВ -общий)

Тогда СВ=ТВ=sqrt(AC^2-AB^2)=sqrt(9x^2-x^2)= sqrt(8x^2)

Заметим, что треугольники СОВ и ТОВ тоже прямоугольные и равны между собой ( по 2-м катетам)

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только треугольник СОВ и все , что с ним связано.

Рассмотрим треугольник ВМС - прямоугольный ( радиус перпендикулярен касательной в точке касания)

Тогда МС= sqrt(BC^2-MB^2)=sqrt(8x^2-4x^2)= 2x

Поскольку МВО прямоугольный и МВ - высота, проведенная из прямого угла, то по теореме Эвклида  МВ^2=MC*MO

4*x^2=2*x*MO

=>MO=2x => MO=MC => ВМ является также медианой , а значит по признаку равнобедренного треугольника ОСВ равнобедренный .

Так как угол В=90 град, то углы ОСВ=СОВ=45 град

Поскольку треугольники  СОВ = ТОВ, то угол ТОВ также равен 45 град.

Значит СОТ=45+45=90 град

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $r_1$ и $r_2$ - радиусы меньшей и большей окружностей соответственно.

У нас дано, что $\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{3}$.

Так как окружности касаются друг друга внутренним образом, расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов: $O_1O_2 = r_2 - r_1.$

Из условия перпендикулярности, прямая, проведенная через центр меньшей окружности и перпендикулярная линии центров, будет касаться большей окружности в точке $A$, где $A$ - точка пересечения этой прямой с большей окружностью.

Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, угол между радиусом и касательной равен 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник $O_2AO_1$. У нас есть два угла: $O_2AO_1$ и $AO_1O_2$, и нам нужно найти их значения.

Из свойств треугольника $O_2AO_1$ следует, что сумма углов в нем равна 180 градусов: $O_2AO_1 + AO_1O_2 + O_2O_1 = 180^\circ.$

Мы знаем, что $AO_1O_2 = 90^\circ$, и теперь можем подставить это значение и выразить $O_2AO_1$: $O_2AO_1 + 90^\circ + O_2O_1 = 180^\circ.$ $O_2AO_1 + O_2O_1 = 90^\circ.$

Таким образом, угол $O_2AO_1$ равен 90 градусов.

Итак, мы видим, что угол между касательными, проведенными из точек пересечения большей окружности с прямой, проведенной через центр меньшей окружности и перпендикулярной линии центров, равен 90 градусов.