Question

Точка A1 — середина дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Известны углы треугольника ABC: ∠A=42∘, ∠B=74∘, ∠C=64∘. Чему равны углы треугольника IBA1?

Answer 1

Центр вписанной окружности I - точка пересечения биссектрис.

∪BA1=∪CA1 => BAA1=CAA1, AA1 - биссектриса.

BIA1 - внешний угол △AIB.

BIA1 =A/2 +B/2 =(42+74)/2=58

CBA1 =∪CA1/2 =CAA1 =A/2

IBA1 =B/2 +CBA1 =B/2 +A/2 =58  

A1 =∪AB/2 =C =64

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно определить значения углов треугольника IBA1. Для этого давайте рассмотрим несколько свойств:

1. Точка I - центр вписанной окружности треугольника ABC. Следовательно, угол BIA равен половине угла BAC, то есть 42° / 2 = 21°.

2. Точка A1 - середина дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A. Значит, угол BA1C равен углу BAC, то есть 42°.

3. Так как треугольник ABC - это остроугольный треугольник (сумма углов меньше 180°), то точка I лежит внутри треугольника ABC.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник IBA1. У нас уже есть значения двух углов: BIA = 21° и BA1C = 42°.

Из суммы углов треугольника можно найти третий угол: Угол IBA1 = 180° - (BIA + BA1C) = 180° - (21° + 42°) = 180° - 63° = 117°.

Таким образом, углы треугольника IBA1 равны: ∠IBA1 = 21°, ∠BA1I = 42° и ∠A1IB = 117°.