Question

В правильной четырёхугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30º. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найти её объём.

Answer 1

Ответ: V=48√3см³

Объяснение: в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат поэтому все стороны основания равны. Обозначим вершины пирамиды АВСД с высотой КО и проведём две диагонали АС и ВД, которые делят основание на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых половины диагоналей являются катетами а сторона основания гипотенузой. Рассмотрим полученный ∆СОД. В нём проэкция апофемы ОМ на основание также является медианой, поскольку боковая грань пирамиды равнобедренная, поэтому медиана равна половине гипотенузы СД. ОМ=12/2=6см.

Рассмотрим ∆КМО. Он прямоугольный где КО и ОМ - катеты, а КМ- гипотенуза.

КО лежит напротив угла 30°, поэтому равен половине гипотенузы КМ. Пусть КО=х, тогда КМ=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

КМ²-КО²=ОМ²

(2х)²-х²=3²

4х²-х²=9

3х²=9

х²=9/3=3

х=√3; КО=√3см, тогда КМ=2√3см

Sосн=12²=144см²

Теперь найдём объем пирамиды зная её высоту и площадь основания по формуле:

V=⅓×Sосн×KO=⅓×144×√3=48√3см³

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, а $h$ - высота пирамиды (апофема).

Нам известно, что сторона основания $a = 12$ см, и угол между апофемой и плоскостью основания равен $30^\circ$. Мы можем найти высоту $h$ с помощью тригонометрии, используя соотношение между апофемой $a_p$, радиусом описанной окружности $R$ и половиной стороны основания $a/2$:

$a_p = R \cdot \sin(\angle A) = R \cdot \sin(30^\circ) = \frac{a}{2}.$

Из этого соотношения мы можем найти радиус описанной окружности:

$R = \frac{a_p}{\sin(30^\circ)} = \frac{a/2}{\frac{1}{2}} = a.$

Теперь, мы можем найти высоту $h$ с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, радиусом описанной окружности и половиной стороны основания:

$h^2 = R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}.$

Отсюда, $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь, мы можем подставить значения $S_{\text{основания}} = a^2 = 12^2$ и $h = \frac{12\sqrt{3}}{2}$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12^2 \cdot \frac{12\sqrt{3}}{2} = 144 \cdot 6\sqrt{3} = 864\sqrt{3} \approx 1494.09 \, \text{см}^3.$

Итак, объём пирамиды составляет приблизительно $1494.09 \, \text{см}^3$.