Question

Во сколько раз уменьшится V конуса, если диаметр его основания уменьшить в 2,5 раза? нужен не просто ответ, но и решение подробное ​

Answer 1

Формула объёма конуса: $V = \frac{1}{3}*S*h$ , где

S - площадь основания

h - высота конуса

Т.к. основанием конуса является круг, то

Формула площади круга: $S = \pi R^{2}$ , где

π - число пи

R - радиус круга

Как мы знаем радиус - половина диаметра ⇒ формула может выглядеть и так:  $S = \pi (\frac{d}{2}) ^{2}$

Получается формула объёма конуса становится такой:  $V = \frac{1}{3}*\pi *(\frac{d}{2} )^{2} *h$

Теперь пусть d - диаметр нового конуса, тогда 2,5d - первоначальный диаметр конуса

V₁ - первоначальный объём конуса, а V₂ - новый объём конуса

Получается:

$V_{1} = \frac{1}{3}*\pi *(\frac{2,5d}{2} )^{2} *h = \frac{1}{3}*\pi *(\frac{5d}{4} )^{2} *h = \frac{1}{3}*\pi *\frac{25d^{2}}{16} *h$

$V_{2} = \frac{1}{3}*\pi *(\frac{d}{2} )^{2} *h = \frac{1}{3}*\pi *\frac{d^{2} }{4} *h$

Теперь ищем $\frac{V_{1} }{V_{2} }$

$\frac{V_{1} }{V_{2} } = \frac{\frac{1}{3}*\pi *\frac{25d^{2}}{16} *h}{\frac{1}{3}*\pi *\frac{d^{2} }{4} *h}$

$\frac{1}{3},\pi$ и h сокращаются, получается:

$\frac{V_{1} }{V_{2} } = \frac{\frac{25d^{2}}{16} }{ \frac{d^{2} }{4} } = \frac{25d^{2}}{16} : \frac{d^{2} }{4} = \frac{25d^{2}}{16} * \frac{4}{d^{2} } = \frac{25}{4} = 6 \frac{1}{4} = 6,25$

Ответ: в 6,25 раз уменьшится V конуса

Answer 2

Обозначим начальный объем конуса как V_начальный, а его диаметр основания как D_начальный. После уменьшения диаметра основания в 2,5 раза, новый диаметр будет D_новый = D_начальный / 2,5.

Объем конуса можно выразить через его радиус (r) и высоту (h) следующим образом: V = (1/3) * π * r^2 * h.

Поскольку радиус связан с диаметром следующим образом: r = D / 2, подставим это выражение в формулу для объема:

V = (1/3) * π * (D/2)^2 * h.

Из этого видно, что объем зависит от квадрата диаметра основания. Поэтому, если диаметр уменьшится в 2,5 раза, то его квадрат уменьшится в (2,5)^2 = 6,25 раза.

Итак, уменьшение диаметра в 2,5 раза приведет к уменьшению объема в 6,25 раза.