Question

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC,является ромб.а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 =6, AB=4.(108/145)​

Answer 1

Эту задачу  можно решить методом аналитической геометрии.

Расположим заданный параллелепипед в прямоугольной системе координат точкой В в начале, ВА по оси Ох ВС по оси Оу.

Сечение пересекает боковые рёбра АА1 и СС1 посредине в точках М и К.

Координаты точек для плоскости ВКД1:

В(0; 0; 0), К(0; 4; 3) и Д1(4; 4; 6).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA       y - yA   z - zA

xB - xA       yB - yA   zB - zA

xC - xA      yC - yA   zC - zA    = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0               y - 0          z - 0

0 - 0      4 - 0          3 - 0

4 - 0      4 - 0          6 - 0     = 0

x - 0              y - 0          z - 0

 0                4            3

 4               4            6    = 0

 (x - 0)  (4·6-3·4)  -  (y - 0)  (0·6-3·4)  +  (z - 0)  (0·4-4·4)  = 0

12 x - 0  + 12 y - 0  + (-16) z - 0  = 0

12x + 12y - 16z = 0   или, сократив на 4:

3x + 3y - 4z = 0 .

Плоскость BCC1 - это плоскость zOy, её уравнение х = 0.

Угол между плоскостями определяется по формуле:

 

cos α =             |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|            

            √(A1² + B1² + C1²) √(A2² + B2² + C2²).

 

Подставим значения:

cos α =             |3·1 + 3·0 + (-4)·0|            

            √(3² + 3² + (-4)²) √(1² + 0² + 0²).

Получаем cos α = 3/√34 = 3√34/34.

Угол α = arc cos(3√34/34) = 59,036°.

Answer 2

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC,

является ромб.  а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.  б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1  , если AA1 =6, AB=4.

Объяснение:

а) Проведем а||АС, значит а параллельна диагональному сечению АСС₁А₁⇒ МК||АС.

По условию BMD₁К-ромб, значит D₁В⊥МК по свойству диагоналей ромба и МК||АС. Тогда по т. о 3-х перпендикулярах : если наклонная D₁В перпендикулярна прямой лежащей в плоскости АС , то и проекция DВ⊥АС ( прямой , лежащей в плоскости ). Получили , что в прямоугольнике АВСD диагонали  АС⊥DВ ⇒ АВСD -квадрат.

б)Проведем через М и К ( середины ребер)  плоскость β║(АВС) , получим точку Н  на ребре ВВ₁ , ВН=НВ₁=3 .

Пусть  НР⊥ВК,  т.к. МН⊥ВВ₁  ⇒ МР⊥ВК по т. о трех перпендикулярах⇒∠МРН-линейный угол данного двугранного.

ΔВНК -прямоугольный, ВК=√(16+9)=5.

ΔВНР≈ΔВНК ( по 2 углам общему и прямому) , значит сходственные стороны пропорциональны :  

НР:НВ=НК:ВК  , НР:3=4:5   , НР=12/5.

ΔМНР -прямоугольный , tg∠МРН=МН:РН ,  tg∠МРН=20/12=5/3

∠МРН=аrctg(5/3).

Answer 3

а) Для начала, давайте обозначим данный параллелепипед и его вершины:

• ABCDA1B1C1D1: Прямоугольный параллелепипед.
• α: Плоскость, содержащая ромб и параллельная AC.
• BD1: Прямая, лежащая в плоскости α.
• BCC1: Плоскость, образованная треугольником BCC1.

Дано:

• Угол между плоскостью α и BCC1: θ (найдем его в пункте б).
• AA1 = 6 (длина отрезка AA1).
• AB = 4 (длина отрезка AB).

Доказательство:

1. Поскольку плоскость α содержит ромб BCC1D1, и ромб имеет равные стороны, значит, стороны BС и CD1 имеют одинаковую длину. Таким образом, BС = CD1.

2. Также, так как плоскость α параллельна плоскости ABCD, она пересекает ребро BD1 под углом 90 градусов (поскольку BD1 в данном случае является диагональю ромба BCC1D1).

3. Рассмотрим треугольник BCC1D1. В нем у нас есть два равных угла: угол BCD1 и угол C1BD1 (поскольку BС = CD1).

4. Так как плоскость α параллельна плоскости ABCD, а ребро BD1 пересекается с α под прямым углом, то угол BCD1 также равен 90 градусов.

5. Таким образом, в треугольнике BCC1D1 у нас есть два равных угла (по 90 градусов) и сторона BС равна стороне CD1. Это означает, что треугольник BCC1D1 - это прямоугольный равнобедренный треугольник.

6. Теперь рассмотрим треугольник BCC1C. Мы знаем, что сторона BС равна стороне CC1 (поскольку ромб BCC1D1 - это сечение параллелепипеда плоскостью α), и у нас есть общий угол BCC1. Таким образом, треугольник BCC1C также равнобедренный.

7. В равнобедренном треугольнике BCC1C угол BCC1C равен углу BCCC1. Отсюда следует, что угол BCC1C равен 90/2 = 45 градусов.

Таким образом, мы доказали, что угол между плоскостью α и плоскостью BCC1 равен 45 градусам.

Это завершает доказательство пункта (б) и ответ на задачу.