Question

Написать уравнение касательных к параболе y^2=4x проведенных из точки (-1;8/3)

Answer 1

Уравнение параболы y^2=4x выразим через у: y = ±2√x, что соответствует двум ветвям параболы выше и ниже оси Ох.

Пусть  абсцисса точки касания хо.

Общее уравнение касательной: y = y(xo) + (y'(xo))(x - xo).

 Производные равны:  y' = ±(1/xo).

Подставляем данные для верхней ветки, получаем:

y = 2√xo + (1/√xo)*(x - xo) = (2xo +  x - xo)/√xo = (xo + x)/√xo.

Так как прямая проходит через точку М(-1, (8/3)), то:

(8/3) = (xo - 1)/√xo.

Возведём обе части уравнения в квадрат.

(64/9) = (xo² - 2xo + 1)/xo.

9xo² - 18xo + 9 = 64xo. Получаем квадратное уравнение:

9xo² - 82xo + 9 = 0.  

D=(-82)^2-4*9*9=6724-4*9*9=6724-36*9=6724-324=6400;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(2root6400-(-82))/(2*9)=(80-(-82))/(2*9)=(80+82)/(2*9)=162/(2*9)=162/18=9;

x_2=(-2root6400-(-82))/(2*9)=(-80-(-82))/(2*9)=(-80+82)/(2*9)=2/(2*9)=2/18=1/9~~0.111111111111111.

Имеем 2 абсциссы точек касания, значит, касательных будет две.

Вторая точка соответствует нижней ветви параболы, так как уравнение касательной одинаковое.

Координаты точек касания B(9; 6), A((1/9); (-2/3)).

Уравнения касательных имеют вид:

y(B) = (1/3)x + 3,

y(A) = -3x - (1/3).

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к параболе y^2 = 4x, проведенной из данной точки (-1, 8/3), мы можем использовать производную параболы и уравнение касательной в точке.

Сначала найдем производную параболы y^2 = 4x:

$$\frac{d}{dx} (y^2) = \frac{d}{dx} (4x) \\ 2y \frac{dy}{dx} = 4 \\ \frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y}$$

Теперь подставим координаты точки (-1, 8/3) в полученное уравнение, чтобы найти угловой коэффициент касательной в этой точке:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y} = \frac{2}{8/3} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (-1, 8/3) равен 3/4.

Уравнение касательной в общем виде имеет вид:

$$y - y_1 = m(x - x_1),$$

где (x_1, y_1) - координаты точки, из которой проводится касательная, и m - угловой коэффициент касательной.

Подставляя значения, получаем:

$$y - \frac{8}{3} = \frac{3}{4}(x + 1).$$

Это уравнение касательной к параболе y^2 = 4x, проведенной из точки (-1, 8/3).