Question

Cos в квадрате 2x + cos в квадрате 6x=1, принадлежащие отрезку [0; Пи/4]

Answer 1

Ответ:

$\frac{\pi}{16}; \frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{16}$

Объяснение:

$\cos^2{2x}+\cos^2{6x}=1 \\ \\ 2\cos^2{2x}+2\cos^2{6x}=2 \\ \\ 1+\cos{(2\cdot 2x)}+1+\cos{(2\cdot 6x)}=2 \\ \\ 2+\cos4x+\cos12x=2 \\ \\ \cos12x+\cos4x=0 \\ \\ 2\cos\frac{12x+4x}{2} \cos\frac{12x-4x}{2} =0\\ \\ 2\cos\frac{16x}{2} \cos\frac{8x}{2} =0 \\ \\ 2\cos8x\cos4x=0$

$\cos8x=0$ или $\cos4x=0$

$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n, ~n \in Z$ или $4x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k \in Z$

$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}, ~n \in Z$ или $x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}, ~k \in Z$

Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0;\frac{\pi}{4} ]$:

$0\leq \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}\leq \frac{\pi}{4}\\ \\0\leq \frac{1}{16}+\frac{n}{8}\leq \frac{1}{4}\\ \\0-\frac{1}{16}\leq \frac{1}{16}+\frac{n}{8}-\frac{1}{16}\leq \frac{1}{4}-\frac{1}{16}\\ \\-\frac{1}{16}\leq \frac{n}{8}\leq \frac{3}{16} \\ \\-\frac{1}{16}\cdot 8 \leq \frac{n}{8}\cdot 8\leq \frac{3}{16}\cdot 8\\ \\-\frac{1}{2} \leq n \leq \frac{3}{2} \\ \\-0,5 \leq n \leq 1,5$

так как n-целое число, то $n=0, ~n=1$

если $n=0$, то $x=\frac{\pi}{16}+ \frac{\pi \cdot 0}{8}=\frac{\pi}{16}+0=\frac{\pi}{16}$

если $n=1$, то $x=\frac{\pi}{16}+ \frac{\pi \cdot 1}{8}=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi}{8}=\frac{3\pi}{16}$

    2.

$0\leq \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\leq \frac{\pi}{4}\\ \\0\leq \frac{1}{8}+\frac{k}{4}\leq \frac{1}{4}\\ \\0-\frac{1}{8}\leq \frac{1}{8}+\frac{k}{4}-\frac{1}{8}\leq \frac{1}{4}-\frac{1}{8}\\ \\-\frac{1}{8}\leq \frac{k}{4}\leq \frac{1}{8} \\ \\-\frac{1}{8}\cdot 4 \leq \frac{k}{4}\cdot 4\leq \frac{1}{8}\cdot 4\\ \\-\frac{1}{2} \leq k \leq \frac{1}{2} \\ \\-0,5 \leq k \leq 0,5$

так как n-целое число, то $k=0$

если $k=0$, то $x=\frac{\pi}{8}+ \frac{\pi \cdot 0}{4}=\frac{\pi}{8}+0=\frac{\pi}{8}$

=========================

$\frac{\pi}{16}; \frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{16}\in [0;\frac{\pi}{4} ]$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем найти его решение. Уравнение выглядит следующим образом:

cos^2(2x) + cos^2(6x) = 1

Мы хотим найти значения x из интервала [0, π/4], которые удовлетворяют этому уравнению.

Для начала, заметим, что на интервале [0, π/4] косинусы обоих углов 2x и 6x положительны, так как cos(0) = 1 и cos(π/4) > 0.

Учитывая это, мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

cos^2(2x) = 1 - cos^2(6x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1, чтобы выразить sin^2(6x):

sin^2(6x) = 1 - cos^2(6x)

Теперь мы можем заменить это значение в наше уравнение:

cos^2(2x) = sin^2(6x)

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ):

cos^2(2x) = 4sin^2(3x)cos^2(3x)

Используя это, мы можем переписать уравнение следующим образом:

4sin^2(3x)cos^2(3x) = sin^2(6x)

Теперь у нас есть уравнение, которое зависит только от одного угла, 3x. Давайте решим это уравнение:

4sin^2(3x)cos^2(3x) = sin^2(6x)

sin^2(3x)cos^2(3x) = 0.25sin^2(6x)

sin^2(3x)cos^2(3x) = 0.25(1 - cos^2(6x)) (используем тригонометрическое тождество sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ))

sin^2(3x)cos^2(3x) = 0.25 - 0.25cos^2(6x)

Теперь давайте заметим, что sin^2(3x)cos^2(3x) всегда неотрицательно, так как квадрат синуса и косинуса всегда положителен или ноль. Также заметим, что 0.25 - 0.25cos^2(6x) на интервале [0, π/4] положителен или ноль.

Следовательно, единственный способ, чтобы равенство выполнялось, - это когда оба выражения равны нулю:

sin^2(3x)cos^2(3x) = 0

Это происходит, когда sin(3x) = 0 или cos(3x) = 0.

Давайте рассмотрим оба случая:

1. Если sin(3x) = 0, то это означает, что 3x = kπ, где k - целое число. На интервале [0, π/4] это означает, что k = 0. Таким образом, x = 0.

2. Если cos(3x) = 0, то это означает, что 3x = (2k + 1)π/2, где k - целое число. На интервале [0, π/4] это означает, что k = 0. Таким образом, x = π/6.

Итак, решения уравнения cos^2(2x) + cos^2(6x) = 1 на интервале [0, π/4] - это x = 0 и x = π/6.