Question

Помогите, пожалуйста. Очень надо с рисунком! Докажите что в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы больше длины проведённой к ней высоты

Answer 1

Допустим обратное.

Пусть a и b - проекции катетов на гипотенузу. Тогда длина высоты $\sqrt{ab}$

Тогда:

$\sqrt{ab}\geq a+b\\ -\sqrt{ab}\geq a-2\sqrt{ab}+b\\ (\sqrt a-\sqrt b)^2\leq -\sqrt{ab}$ - неотрицательное число меньше 0. Противоречие.

А значит предположение неверно.

Значит в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы больше длины проведённой к ней высоты.

Answer 2

Ответ:

в файле, основывается на знании, что гипотенуза всегда больше катета и подобии прямоугольных треугольников

Answer 3

Конечно, я помогу вам доказать это утверждение. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза обозначена как AB, а высота, проведенная к гипотенузе, обозначена как CD.

Пусть точка D - это основание высоты, а точка E - это точка пересечения высоты CD с гипотенузой AB.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также его медианой и уголополовником. Это означает, что треугольник CDE является подобным треугольнику ABC.

Из подобия треугольников ABC и CDE мы можем записать следующее отношение длин сторон:

$\frac{CD}{AB} = \frac{DE}{AC}$.

Но мы также знаем, что AC - это половина гипотенузы AB (по свойству медианы прямоугольного треугольника):

$AC = \frac{AB}{2}$.

Таким образом, мы можем заменить AC в выражении:

$\frac{CD}{AB} = \frac{DE}{\frac{AB}{2}}$.

Умножим обе стороны уравнения на $\frac{2}{AB}$:

$\frac{2 \cdot CD}{AB} = \frac{DE}{AB}$.

Поскольку DE - это отрезок гипотенузы AB, мы можем записать:

$\frac{2 \cdot CD}{AB} = \frac{AB}{AB}$.

Сокращая AB на обеих сторонах:

$\frac{2 \cdot CD}{AB} = 1$.

Теперь у нас есть:

$2 \cdot CD = AB$.

Это означает, что длина гипотенузы AB равна двойной длине отрезка CD, который представляет собой высоту, проведенную к гипотенузе. Таким образом, гипотенуза действительно длиннее высоты, проведенной к ней.