Question

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны друг другу, основания AD = a и BD = b, a > b. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно стороне AB, пересекает сторону AB в точке M и сторону CD в точке N. Известно, что имеет место равенство AO * OC = BO * OD. Найдите длину отрезка MN.

Answer 1

Решение : ////////////////////////////////////

Answer 2

Обозначим точку пересечения диагоналей O, основание AD как a, основание BC как b, длину отрезка MN как x.

Так как диагонали перпендикулярны друг другу, мы можем утверждать, что треугольник ABO подобен треугольнику CDO (по общему углу O и углу при вершине), и соответственно:

AO / OC = BO / OD

Известно, что AO * OC = BO * OD, следовательно:

AO^2 = BO^2

Так как треугольники ABO и CDO подобны, мы можем записать следующее соотношение:

AO / CD = BO / CD

AO = (BO * CD) / OD

Подставляя AO в квадрат:

(BO * CD / OD)^2 = BO^2

BO^2 * CD^2 / OD^2 = BO^2

CD^2 / OD^2 = 1

CD = OD

Теперь мы знаем, что CD = OD. Также, так как AO * OC = BO * OD, то AO / BO = OD / OC.

Посмотрим на треугольник AOM:

AO / BO = OM / BM

OM = AO * BM / BO

Теперь, посмотрим на треугольник DON:

DO / CO = NO / CO

NO = DO * CO / CO

NO = DO

Так как CD = OD и NO = DO, то CN = NO + CO = DO + CO.

Мы знаем, что DM = CN, так как DM || CN и они пересекаются перпендикулярно AB.

Теперь, у нас есть прямоугольный треугольник DCO, где CO = a, DO = b.

С помощью теоремы Пифагора:

CD^2 = CO^2 + DO^2 b^2 = a^2 + x^2 x^2 = b^2 - a^2

Таким образом, длина отрезка MN равна:

MN = √(b^2 - a^2)

Это и есть искомая длина.