Question

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90˚) разность между длинами медианы CK и высоты CM равна 7 см. Найдите отношение Rr, если площадь треугольника SΔABC = 144 см2. Где r и R– соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.

Answer 1

Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы, то есть радиусу описанной окружности.

t =R-h

S =Rh

R^2 -tR -S =0

R =√(t^2 +4S)+t /2 =√(7^2 +4*144)+7 /2 =16 (R>0)  

S =pr

r =p-2R (расстояние от вершины до точки касания)

r^2 +2Rr -S =0

r =√(R^2 +S)-R =√(16^2 +144)-16 =4 (r>0)  

R/r =16/4 =4

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим заданный треугольник ABC с уголом C = 90°. Пусть AB - гипотенуза, AC и BC - катеты.

Обозначим медиану CK как медиану, и CM как высоту треугольника. Задача говорит, что разность между длинами медианы CK и высоты CM равна 7 см:

CK - CM = 7

Площадь треугольника можно выразить через длины катетов AC и BC:

SΔABC = (AC * BC) / 2

У нас также есть формула для площади через медиану и высоту:

SΔABC = (2/3) * CK * CM

Из этих двух уравнений можно получить:

(AC * BC) / 2 = (2/3) * CK * CM

Так как CK - CM = 7, то CK можно представить как CM + 7.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. (AC * BC) / 2 = (2/3) * (CM + 7) * CM
2. SΔABC = 144

Решим первое уравнение относительно CM:

(AC * BC) / 2 = (2/3) * (CM^2 + 7CM)

AC * BC = (4/3) * (CM^2 + 7CM)

AC * BC = (4/3) * CM^2 + (14/3) * CM

Заметим, что (AC * BC) равно удвоенной площади треугольника (AC * BC = 2 * SΔABC):

2 * SΔABC = (4/3) * CM^2 + (14/3) * CM

Теперь подставим SΔABC = 144:

2 * 144 = (4/3) * CM^2 + (14/3) * CM

288 = (4/3) * CM^2 + (14/3) * CM

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

864 = 4 * CM^2 + 14 * CM

4 * CM^2 + 14 * CM - 864 = 0

Далее, решим это квадратное уравнение относительно CM. Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac D = 14^2 - 4 * 4 * (-864) D = 196 + 13824 D = 14020

Теперь найдем два корня:

CM = (-b + √D) / 2a и CM = (-b - √D) / 2a

CM = (-14 + √14020) / 8 и CM = (-14 - √14020) / 8

CM ≈ 10.08 и CM ≈ -108.08 (отбрасываем отрицательное значение)

Так как CM представляет длину высоты, и длины не могут быть отрицательными, мы выбираем CM ≈ 10.08 см.

Теперь, имея значение CM, мы можем найти CK:

CK = CM + 7 ≈ 10.08 + 7 ≈ 17.08 см

Теперь обратимся к формулам для радиусов вписанной и описанной окружностей:

Радиус описанной окружности R связан с гипотенузой AB как R = (AC + BC + AB) / 2 = (AC + BC + 2 * CM) / 2.

Радиус вписанной окружности r связан с полупериметром p = (AC + BC + AB) / 2 и площадью треугольника SΔABC как r = SΔABC / p.

Выразим радиусы через известные значения:

R = (AC + BC + 2 * CM) / 2 = (AC + BC + 2 * 10.08) / 2 r = SΔABC / ((AC + BC + AB) / 2) = 144 / ((AC + BC + 2 * CM) / 2)

Теперь можем вычислить значения R и r:

R ≈ (AC + BC + 2 * 10.08) / 2 r ≈ 144 / ((AC + BC + 2 * 10.08) / 2)

В данной задаче у нас нет информации о конкретных значениях длин катетов AC и BC, поэтому мы не можем вычислить точные значения для R и r. Однако, вы можете использовать данные формулы и решение для конкретных значений AC и BC, если они даны в задаче.