Question

Прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общую гипотенузу АВ, а точки С и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Докажите, что если AD = ВС, то прямые АС и BD параллельны.​

Answer 1

Ответ:

да

Объяснение:

рассмотрим прямоуг. тр. АВС и ABD

1. АВ - общ. гипотенуза;

2. AD = BC по условию

значит тр. АВС = тр АВD, значит уг. DВА = уг. САВ

уг. DВА = уг. САВ внутренние накрест лежащие, следовательно АС || ВD, что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте докажем это утверждение.

Поскольку треугольники ABC и ABD имеют общую гипотенузу AB и одинаковые катеты AD и BC, они равны по гипотенузе и катету (по обратной теореме Пифагора). Это означает, что углы при гипотенузе в этих треугольниках также равны. То есть угол CAB = углу DAB и угол CBA = углу DBA.

С учетом того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем записать:

∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180° ∠DAB + ∠DBA + ∠ACB = 180°

Из вышеуказанных равенств углов следует, что:

∠CAB + ∠CBA = ∠DAB + ∠DBA

Теперь предположим, что прямые AC и BD не параллельны. Это означает, что угол ACB и угол DBA являются вертикальными углами (они образованы пересекающимися прямыми AC и BD, и эти углы равны между собой).

Таким образом, мы получаем:

∠CAB + ∠CBA = ∠DAB + ∠DBA ∠CAB + ∠CBA = ∠CAB + ∠CBA

Сравнивая эти два уравнения, мы видим, что ∠DAB + ∠DBA = ∠CAB + ∠CBA. Однако мы знаем, что ∠CAB + ∠CBA = ∠DAB + ∠DBA (из первой суммы углов в треугольниках).

Это противоречие, и оно возникает из нашего предположения, что прямые AC и BD не параллельны. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые AC и BD действительно параллельны, если AD = BC.