Question

20 БАЛІВ Допопоможіть пж Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, пропорційні числам 2 : 5. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 56 см.​

Answer 1

Ответ:

Нехай одна частина висоти = 2а, інша = 5а, тоді вся висота 7а. менший відрізок - радіус вписаного кола, r=2a.

Зв'яжемо сторони через площу:

З одного боку, S=bh / 2, де b - підстава, h - висота;

З іншого-S=p * r, де p-половина периметра, r-радіус вписаного кола, отже

bh/2=pr;

b*7a/2=28*2a

b=16 (см) - підстава трикутника. Вписана окружність ділить підставу на 2 рівних відрізка дотичних. Тоді, бічна сторона розділиться на два відрізки дотичних-один з них буде дорівнює половині підстави, інший потрібно знайти; отже,

y+y+y+y+x+x=56

4y+2x=56

x+2y=28; y=8

x=28-16=12 (см), значить, бічні сторони = 12+8=20 (см).

Відповідь: 16 см; 20 см; 20 см.

Answer 2

Позначимо сторони рівнобедреного трикутника як a, a і b, де a - основа, b - рівні бічні сторони. Нехай точка O є центром кола, вписаного в трикутник, а H - точка дотику висоти з основою трикутника.

За властивостями вписаного кола, точка H ділить висоту трикутника на дві частини, пропорційні радіусам кола, що дорівнюють півсумі бічних сторін трикутника. Оскільки відношення радіусів кола до висоти дорівнює 2/5, ми маємо:

OH / (OH + HH) = 2/5

Так як OH + HH дорівнює висоті трикутника, ми можемо позначити висоту як h, тоді:

OH / (OH + h) = 2/5

З цього ми можемо виразити OH:

OH = (2/5) * (OH + h)

OH = (2/5) * OH + (2/5) * h

(3/5) * OH = (2/5) * h

OH = (2/3) * h

Оскільки OH - це радіус вписаного кола, а HH - висота, опущена з вершини трикутника до основи, аналогічною обчислюється з рівностороннього трикутника, то ми маємо:

OH = HH = (2/3) * h

Так як периметр трикутника дорівнює 56 см, ми можемо записати рівняння:

2a + b = 56

Так як рівнобедрений трикутник має основу a і рівні бічні сторони b, ми можемо записати ще одне рівняння:

2b = a

Тепер ми можемо використовувати отримані рівняння для знаходження значень a і b.

1. Знайдемо значення h: OH = HH = (2/3) * h

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику OHH маємо:

(OH)^2 + (HH)^2 = h^2

((2/3) * h)^2 + ((2/3) * h)^2 = h^2

(4/9) * h^2 + (4/9) * h^2 = h^2